Список литературы:

1. Н.И. Лобачевский. Полное собрание сочинений. ГИТТЛ. Москва-Ленинград, 1951.

Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

- Метод суммирования для решения задачи теплопроводности без начального условия Гусева т.С., Остапенко е.С., Кулиев в.Д., Бутова о.Н.

§1. В.Д. Кулиевым предложен следующий метод суммирования рядов. Рассмотрим ряд

Если функция f(z) регулярна в правой полуплоскости Re z≥m, z-плоскости и такова, что ее модуль при при достаточно большихR может быть как мал, так и велик, то для суммирования рядов такого типа метод Плана не применим. Поэтому возникает необходимость в разработке метода суммирования рядов, учитывающего и это обстоятельство.

Обозначение. Под S_α понимается сектор, образованный двумя лучами в z-плоскости, исходящими из точки O₁(m,0) симметрично относительно действительной оси под углом α (0<α≤π/2).

Теорема Кулиева. Пусть:

1°. Функция f(z) регулярна внутри и на границе сектора S_α.

2°. Функция f(z) в точках z=k, где k=m, m+1, m+2,…, не имеет нулей.

3°. Угол α такой, что предельное равенство

(1.1)

выполняется равномерно по

4°. Несобственный интеграл

(1.2)

сходится.

Тогда

(1.3)

где

Этот метод в дальнейшем назовем - метод.

§2. Рассмотрим задачу без начальных условий.

Если процесс теплопроводности рассматривается в момент, достаточно далеко отстоящий от начального, то влияние начальных условий практически не сказывается на распределении температуры в момент наблюдения. В этом случае ставится задача об отыскании решения однородного уравнения теплопроводности, удовлетворяющего граничным условиям одного из трех основных типов, задаваемых для всех .

Рассмотрим первую краевую задачу для полубесконечного стержня, с теплоизолированной боковой поверхностью.

Требуется найти ограниченное решение однородного уравнения теплопроводности при , удовлетворяющее условиюгде- заданная функция. Предполагается, что функциииограничены всюду, т.е.,(M, N – константы).

Распределение температуры можно записать так:

(2.1)

Тогда ограниченное решение однородного уравнения теплопроводности при , удовлетворяющее условиям,, представляет собой следующую сумму двух слагаемых

(2.2)

Покажем, что второе слагаемое в пределе придает нуль

(2.3)

В самом деле, так как по условию , то имеем следующую оценку

откуда при и фиксированныхx и t следует утверждение (2.3). Теперь предельный переход при , в выражении (2.2) дает нам искомое решение задачи:

(2.4)

Полезное представление полученного решения получим, если ввести в (2.4) новую переменную интегрирования :

(2.5)

Рассмотрим с его помощью один из наиболее часто встречающихся случаев граничного условия – периодическое условие вида

(2.6)

Эта задача изучалась еще Фурье и впервые была применена при определении температурных колебаний почвы [ ].

Учитывая (2.6) в (2.3), получаем

где - функция Макдональда.

Отсюда, учитывая, что

окончательно находим

(2.7)

Это решение другим способом получено в [ ].

Поскольку одномерное уравнение теплопроводности формально совпадает с уравнением

(2.8)

определяющим движение вязкой жидкости над колеблющейся плоскостью, то решению уравнения (2.8), удовлетворяющему условию можно сразу написать по аналогии формулой (2.7) в виде

Здесь - кинематическая вязкость.

Таким образом, в вязкой жидкости могут существовать поперечные волны: скорость перпендикулярна направлению распространения волны. Они, однако, быстро затухают по мере удаления от создающей их колеблющейся твердой поверхности. Затухание амплитуды происходит по экспоненциальному закону с глубиной проникновения. Эта глубина падает с увеличением частоты волны и растет с увеличением вязкости жидкости.

Замечание. -метод суммирования может быть успешно применен к решению задачи о свободных малых колебаниях струны с закрепленными концами и заданными начальными положениями и начальными скоростями её точек. Здесь на этом не будем останавливаться.