К статье н.И. Лобачевского «значение некоторых определенных интегралов» Грачева в.А., Бутова о.Н., Кулиев в.Д.

Н.И. Лобачевским в этой статье [1] получены оригинальные результаты. Мы продолжим начатый Н.И. Лобачевским исследования.

§1. Теоремы н.И. Лобачевского и новая теорема

Имеет место

Теорема 1. (Н.И. Лобачевский). Если функция f(x) удовлетворяет условиям

(1.1)

и если существует интеграл

то

(1.2)

Доказательство. Представим интеграл в виде суммы ряда

Пусть . Положивилии прибегнув, соответственно, к подстановкеили, в силу (1.1), будем иметь:

Отсюда

Так как ряд

В промежутке сходится равномерно, ибо мажорируется сходящимся рядом

то его можно интегрировать почленно.

Следовательно,

Но выражение в квадратных скобках есть разложение на простые дроби функции .

Таким образом, окончательно имеем

что и требовалось доказать для случая .

Пусть теперь . Поступая точно так же, как для случая, получаем

откуда замечая, что

находим

Теорема доказана.

Замечание 1. Определим сумму ряда

т.е. докажем, что

Функцию можно представить в виде:

Последний ряд удовлетворяет всем требованиям формулы суммирования Плана [2].

Имеем

Замечая, что для любого конечного (см. ниже (2.2)):

и

Окончательно, находим

что и требовалось доказать.

Теорема 2. (Н.И. Лобачевский). Если функция f(x) удовлетворяет условиям

(1.3)

(условия непрерывности функции в точках, где

и если существует интеграл, то

(1.4)

Доказательство. Поступая точно так же, как при доказательстве теоремы 1 (Н.И. Лобачевский), получаем

Отсюда, замечая, что

приходим к (1.4). Доказательство закончено.

Теорема 3. Если функция удовлетворяет условиям теоремы 2 (Н.И. Лобачевский) и если существует интеграл

то

(1.5)

Доказательство. Поступая точно так же, как при доказательстве теоремы 1 (Н.И.Лобачевский), в силу (1.3) получаем

Отсюда, замечая, что

приходим к утверждению теоремы 3 (1.5).

§2. Некоторые утверждения и примеры

Следует указать, что справедливы следующие утверждения:

1. Формула Лобачевского (1.2) остается в силе и в том случае, когда функция f(x) в промежутке интегрируема в несобственном смысле (при сохранении прочих условий теоремы 1Лобачевского).

2. Формула Лобачевского (1.4) и формула (1.5) также остаются в силе в том случае, когда функция f(x) в промежутке интегрируема в несобственном смысле (при сохранении прочих условий теоремы 2Лобачевского и теоремы 3, если функция f(x) в точке непрерывна; если же функцияf(x) в точке имеет интегрируемую особенность, то условиеотпадает, а остальные условия теоремы 2Лобачевского и теоремы 3 при этом сохраняются).

Следствие вышеперечисленных теорем:

1. Если , то из формулы Лобачевского (1.2) следует, что

(2.1)

2. Если , гдеm – любое целое число, то из (1.2) следует, что

3. Если , то из (1.2) приходим к формулам Валлиса

~

~

4. Если , гдеm=0, ±1,…, то из (1.4) и (1.5) следует, что

Примеры.

1°. Рассмотрим интеграл

где Г(t) – гамма-функция Эйлера. Благодаря тому, что

интеграл допускает применение теоремы 2 и теорема 3 без труда вычисляется

Отметим, что при n=2 интеграл является частным случаем интеграла Рамануждана.

Теперь вычислим этот интеграл при n=2 с помощью теоремы 1 Лобачевского. Выполнив в интеграле

интегрирование по частям, получим

Чтобы вычислить этот интеграл при n=1, следует воспользоваться результатами теорем 1 и 2 Лобачевского. Вычисления дают

Отметим, что используя этот интеграл (при n=2) можно показать, что

Действительно,

откуда следует

Теперь остается учесть, что

чтобы получить искомое равенство

Исходя из равенства

и выполнив в левой его части интегрирование по частям, находим значение еще одного интеграла

2°. С помощью теоремы Лобачевского докажем, что для любого конечного t

(2.2)

Доказательство. Сначала рассмотрим случай t>0. Имеем

Аналогично доказывается случай t<0.

Пусть теперь t=0. Докажем, что в этом случае

Действительно,

Доказательство закончено.