1.3.4. Расчёт теплоты. Теплоёмкость

Элементарная теплота пропорциональна массе m (или количеству вещества n) в системе и разности температур между системой и внешней средой:

δQ=mC_mdT и δQ=nC_ndT (3.6-3.7)

В этих уравнениях C_m, C_n - истинные удельная и молярная теплоёмкости вещества соответственно. Формулы (3.6-3.7) являются, по существу, определениями теплоёмкостей:

Удельная (молярная) теплоёмкость вещества – это теплота, необходимая для повышения температуры единицы его массы (количества вещества) на один градус. В зависимости от условий процесса (постоянное давление или объём) теплоёмкости бывают изобарными С_р или изохорными С_v.

Теплота, поглощённая (или отданная) системой при конечном изменении её температуры от Т₁ до Т₂ равна сумме элементарных теплот, т.е. интегралу выражений (3.6-3.7). Если же принять, что теплоёмкость в данном интервале температур постоянна (например, принимает среднее для этого интервала температур значение – она так и называется «средняя теплоёмкость» C), то теплоту можно рассчитать по уравнениям:

Q=mC(T₂ – T₁) и Q=nC(T₂ – T₁) , (3.8-3.9)

известным ещё из школьного курса физики. В общем случае необходимо учитывать, что теплоёмкость зависит от температуры и, следовательно, её нельзя бездумно выносить за знак интеграла.

Средняя и истинная теплоёмкости связаны между собой уравнением: C=Q/(T₂ – T₁)=òCdT/(T₂ – T₁) (3.10)

Из первого закона термодинамики (3.3), выражений для работы объёмного расширения (3.4) и теплоты (3.7) следует, что:

δQ=nC_ndT=dU + PdV (3.11)

Из уравнений (3.7, 3.11) следует, что молярная теплоёмкость равна

C_n=[dU/dT + PdV/dT]/n (3.12)

Из выражения (3.12) вытекает три следствия:

Следствие 1. При постоянном давлении теплота идёт на изменение внутренней энергии системы и на совершение ей работы против сил внешнего давления. В этом случае молярная теплоёмкость при постоянном давлении C_np рассчитывается по формуле (3.12)

Следствие 2. При постоянном объёме системы вся теплота идёт на изменение внутренней энергии. В этом случае молярная теплоёмкость при постоянном объёме C_nV равна производной внутренней энергии системы по температуре:

C_nV = (dU/ndT) (3.13)

Следствие 3. Молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении C_np рассчитывается по уравнению Роберта Майера:

C_np= C_nV + R (3.14)

Таким образом, универсальная газовая постоянная R равна работе расширения 1 моля идеального газа при нагревании его на один градус при постоянном давлении.

1.3.5. Адиабатический процесс

Процесс, происходящий без обмена теплотой с окружающей средой, называется адиабатическим. Для осуществления процесса, близкого к адиабатическому, систему изолируют от окружающей среды оболочкой, не проводящей тепло. Такой оболочкой является сосуд Дьюара - сосуд с двойными посеребрёнными стенками, между которыми выкачан воздух. Адиабатическими в первом приближении можно считать также очень быстрые процессы, скорость которых существенно превышает скорость передачи тепла.

Для адиабатического процесса δQ=0. Отсюда:

δQ=dU+δА= nC_vdT + PdV=0. (3.15)

Так, если газ адиабатически расширяется, то его внутренняя энергия уменьшается, а температура понижается. Если же газ адиабатически сжимается, то его внутренняя энергия увеличивается, а температура повышается.

Можно доказать, на основе (3.15), что для адиабатического процесса с участием идеального газа справедливы соотношения (уравнения адиабат):

TV^g-1=const ; PV^g=const ; (T₁/T₂)=(P₁/P₂) ^g-1/g , где g=C_p/C_{v .} (3.16)

Работу адиабатического процесса с идеальным газом можно рассчитать по уравнению:

A= nC_v(T₁-T₂)= (Р₁V₁ – Р₂V₂)/ (g - 1) (3.17)