- •1.Методы математического описания линейных систем управления.
- •2.Связь между частотными критериями устойчивости и методами выделения области устойчивости в пространстве параметров.
- •3.Аналитическое описание нелинейных элементов. Кусочно-линейная аппроксимация.
- •1.Типовые тестовые воздействия и их краткая характеристика.
- •2.Импульсная переходная характеристика линейной системы управления.
- •3.Метод фазового пространства исследования нелинейных систем.
- •1.Периодические и непериодические сигналы. Преобразование Лапласа.
- •2.Коэффициенты ошибок следящих систем.
- •3.Типы особых точек фазового пространства.
- •1.Передаточная функция линейной динамической системы. Классификация элементов.
- •2.Каким порядком астатизма должна обладать следящая система, чтобы при входном воздействии вида tn установившаяся ошибка была равна нулю?
- •3.Исследование следящей системы с нелинейным элементом типа «линейная зона с участками насыщения».
- •1.Общий вид дифференциального уравнения многомерной системы управления.
- •2.Оптимальный переходный процесс. Возможности реализации.
- •3.Исследование релейной следящей системы методом фазового пространства.
- •1.Годограф частотного оператора системы автоматического управления.
- •2. Синтез следящей системы с заданными показателями качества.
- •3.Исследование релейной следящей системы с гистерезисом.
- •1.Построить логарифмические характеристики заданного элемента.
- •2.Последовательность операций при построении характеристик корректирующих устройств.
- •3.Использование простых итераций при анализе нелинейных систем. Условия сходимости итераций.
- •1.Написать передаточную функцию по заданному графику амплитудной частотной характеристики.
- •2.Интегральная квадратическая оценка качества переходного процесса.
- •1.Построить логарифмическую частотную характеристику замкнутой следящей системы по заданному графику разомкнутой.
- •2.Интегральная оценка переходного процесса с экспоненциальным сглаживанием.
- •3. Исследование релейного автопилота. Скользящий режим.
- •1.Преобразование многоконтурных структурных схем.
- •2.Алгоритм поиска минимума интегральной оценки в пространстве параметров.
- •3.Метод гармонической линеаризации. Вычисление коэффициентов.
- •1.Записать передаточную функцию при заданной структурной схеме.
- •2.Связь между качеством переходного процесса и распределением нулей и полюсов передаточной функции.
- •3.Гармоническая линеаризация идеального реле.
- •1.Определение устойчивости движения по а.М. Ляпунову.
- •2.Способы модуляции в дискретных системах управления.
- •3.Аналитическое исследование автоколебаний при гармонической линеаризации.
- •1.Теорема а.М. Ляпунова об устойчивости для систем, допускающих линеаризацию.
- •2.Рекуррентные соотношения в дискретных системах управления.
- •3.Частотный подход к анализу автоколебаний.
- •1.Практическое применение критерия устойчивости Гурвица (не ниже 4-го порядка)..
- •2.Модификация критерия Гурвица для дискретных систем.
- •1.Доказать критерий устойчивости а.В. Михайлова.
- •2.Управляемость динамических систем. Теорема Калмана об управляемости.
- •3.Вынужденные колебания в нелинейных системах. Условия существования.
- •1.Доказать критерий устойчивости Найквиста.
- •2.Наблюдаемость динамических систем. Теорема Калмана о наблюдаемости.
- •3.Вынужденные колебания в нелинейных системах. Пороговая амплитуда возбуждающего сигнала. Вибрационное сглаживание разрывных характеристик.
- •2.Какое влияние оказывает элемент с запаздыванием на характеристики системы управления?
- •3.Качественный анализ переходных процессов в нелинейных системах, описываемых уравнениями высокого порядка.
- •1.В чем состоит основной принцип выделения границ области устойчивости в пространстве параметров?
- •2.Изложить аналитический подход к исследованию многомерной системы управления. Распространение понятия свертки на многомерные системы.
- •3.Выделение зон затухания и возрастания амплитуды автоколебаний нелинейных систем до установившегося значения.
- •1.Выделение области устойчивости в пространстве двух параметров. Особые прямые. Правила штриховки границы.
- •2.Сформулировать условия устойчивости линейной системы управления с медленно меняющимися параметрами.
- •3.Знакоопределенные и знакопостоянные функции. Связь с устойчивостью нелинейных систем.
- •1.Теорема а.М. Ляпунова об устойчивости в общем случае (с использованием знакоопределенных функций).
- •2.Анализ устойчивости релейной следящей системы с помощью функций а.М. Ляпунова.
- •3.Анализ устойчивости автопилота с нелинейным исполнительным элементом. Абсолютная устойчивость.
- •1.Общие приемы исследования нелинейных систем произвольного порядка.
- •2.Теоремы а.М. Ляпунова об асимптотической устойчивости и о неустойчивости.
- •1.Примеры элементов с нелинейными характеристиками.
- •2.Псевдолинейная коррекция частотных характеристик.
- •3.Преобразоание уравнения высокого порядка, описывающего линейную систему управления к нормальной системе в форме Коши.
3.Исследование релейной следящей системы с гистерезисом.
Рассмотрим теперь случай, когда нелинейная характеристика обладает гистерезисом. Формально она выражается так: (21.1)
Нелинейная характеристика принимает всего два значения c и –c. Нетрудно видеть, что фазовая плоскость разбивается на два подмножества точек (x, y), соответствующих этим двум значениям. При этом начало координат не может быть точкой равновесия, поскольку величина y не обращается в нуль. Решение уравнений следящей системы было нами получено на предыдущей лекции в виде (20.4) и мы можем использовать его для построения фазовых траекторий. Положим Подставив эти значения в (20.4), получим выражение, из которого можно определить значение постоянной интегрирования. (21.2)
Мы, однако, воспользуемся полученным соотношением для другой цели. Попробуем выяснить, не обладает ли фазовая траектория при некоторых начальных условиях свойством центральной симметрии относительно начала координат. Заменив знаки при начальных условиях на противоположные, находим (21.3)
Исключая постоянную интегрирования, имеем(21.4)
В полученном соотношении все величины кроме ym заданы и если существует ym, удовлетворяющая (21.4), то симметрия фазовой траектории будет доказана и мы получим так называемый предельный цикл или автоколебательный процесс релейной системы с гистерезисом.
Положим для определенности: Тогда вместо (21.4) запишем. (21.5)
На рис.21.1 изображено графическое решение этого уравнения относительно величины ym. Видно, что уравнение имеет по крайней мере два решения, из которых, как мы увидим, только одно может быть реализовано физически.
Рис.21.1. Графическое решение уравнения (21.5).
Решение можно получить с любой точностью, воспользовавшись методом последовательных приближений. В частности, можно использовать легко реализуемый метод - простых итераций. Следует лишь отметить, что условия сходимости этого метода не всегда выполняются, поэтому есть смысл рассмотреть общие условия его сходимости.
Пусть требуется решить уравнение вида ,(21.6)
где - некоторая функция, допускающая существование первой производной. Метод простых итераций строится по формуле(21.7)
Теорема
Если в интервале, содержащем корень уравнения (21.6),а также все последовательные приближения, получаемые по формуле (21.7), выполняется условие
, (21.8)
то .
Доказательство
По определению . Согласно процедуре итераций. Следовательно,
Или, согласно известной теореме Лагранжа,
,
где
Аналогичным путем получаем последовательность оценок
Перемножив оценки, после сокращений находим
.
При выполнении условия (21.8) теоремы получаем
. (21.9)
Переходя в (21.9) к пределу при , получаем утверждение теоремы.
Возвращаясь к решению уравнения (21.5), видим из рис.21.1, что метод простых итераций в данном случае не приведет к решению, т.к. не выполняется условие (21.8). В подобных случаях всегда следует «обратить» уравнение, т.е. записать его в виде
. (21.10)
Ограничиваясь, например, пятью значащими цифрами, с помощью (21.10) без труда вычисляем последовательные приближения величины ym : 0.00000
0.66404,
0.89843,
0.93521,
0.93969,
0.94019,
0.94025,
0.94026.
Для построения фазового портрета постоянную интегрирования в выражении (20.4) (см. лекцию 20) можно и не вычислять, т.к. мы располагаем начальными условиями предельного цикла.
Фазовый портрет приведен на рис.21.2. При построении нетрудно подобрать время счета для полного замыкания цикла. В нашем случае это время (период автоколебаний) равно 0.697 с. На рисунке видно и максимальное значение, которое при желании можно уточнить.
Рис.21.2. Фазовый портрет релейной
следящей системы с гистерезисом
Получим аналитическое выражение для вычисления периода автоколебаний. Обратимся непосредственно к дифференциальному уравнению (20.2) из предыдущей лекции, которое запишем в виде
.
Общее решение этого уравнения
.
Постоянную интегрирования определяем из начальных условий, полагая при . Таким образом,
. (21.11)
Обозначив буквой длительность периода автоколебаний, запишем
,
откуда следует
.
Воспользовавшись найденным значением , получаем более точное значение периода.
Интегрируя (21.11), запишем аналитическое выражение для компоненты x ( t ) вектора состояния
.
Полагая здесь t = 0, найдем постоянную интегрирования B,после чего запишем искомое выражение
. (21.12)
С помощью формулы (21.12) можно уточнить значение амплитуды автоколебаний. Т.к. максимальное значение x достигается при y=0,то имеет смысл вычислить вначале соответствующий момент времени . Согласно (21.11) имеем
.
Следовательно, с. Подставив это значение в (21.12), получаем- уточненное значение по сравнению с найденным ранее из фазового портрета.
Наконец, при небольшом изменении команды вывода можно получить графики x ( t )и y ( t ) (рис.21.3):
Рис.21.3.График изменения компонент вектора состояния.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 7