- •1.Методы математического описания линейных систем управления.
- •2.Связь между частотными критериями устойчивости и методами выделения области устойчивости в пространстве параметров.
- •3.Аналитическое описание нелинейных элементов. Кусочно-линейная аппроксимация.
- •1.Типовые тестовые воздействия и их краткая характеристика.
- •2.Импульсная переходная характеристика линейной системы управления.
- •3.Метод фазового пространства исследования нелинейных систем.
- •1.Периодические и непериодические сигналы. Преобразование Лапласа.
- •2.Коэффициенты ошибок следящих систем.
- •3.Типы особых точек фазового пространства.
- •1.Передаточная функция линейной динамической системы. Классификация элементов.
- •2.Каким порядком астатизма должна обладать следящая система, чтобы при входном воздействии вида tn установившаяся ошибка была равна нулю?
- •3.Исследование следящей системы с нелинейным элементом типа «линейная зона с участками насыщения».
- •1.Общий вид дифференциального уравнения многомерной системы управления.
- •2.Оптимальный переходный процесс. Возможности реализации.
- •3.Исследование релейной следящей системы методом фазового пространства.
- •1.Годограф частотного оператора системы автоматического управления.
- •2. Синтез следящей системы с заданными показателями качества.
- •3.Исследование релейной следящей системы с гистерезисом.
- •1.Построить логарифмические характеристики заданного элемента.
- •2.Последовательность операций при построении характеристик корректирующих устройств.
- •3.Использование простых итераций при анализе нелинейных систем. Условия сходимости итераций.
- •1.Написать передаточную функцию по заданному графику амплитудной частотной характеристики.
- •2.Интегральная квадратическая оценка качества переходного процесса.
- •1.Построить логарифмическую частотную характеристику замкнутой следящей системы по заданному графику разомкнутой.
- •2.Интегральная оценка переходного процесса с экспоненциальным сглаживанием.
- •3. Исследование релейного автопилота. Скользящий режим.
- •1.Преобразование многоконтурных структурных схем.
- •2.Алгоритм поиска минимума интегральной оценки в пространстве параметров.
- •3.Метод гармонической линеаризации. Вычисление коэффициентов.
- •1.Записать передаточную функцию при заданной структурной схеме.
- •2.Связь между качеством переходного процесса и распределением нулей и полюсов передаточной функции.
- •3.Гармоническая линеаризация идеального реле.
- •1.Определение устойчивости движения по а.М. Ляпунову.
- •2.Способы модуляции в дискретных системах управления.
- •3.Аналитическое исследование автоколебаний при гармонической линеаризации.
- •1.Теорема а.М. Ляпунова об устойчивости для систем, допускающих линеаризацию.
- •2.Рекуррентные соотношения в дискретных системах управления.
- •3.Частотный подход к анализу автоколебаний.
- •1.Практическое применение критерия устойчивости Гурвица (не ниже 4-го порядка)..
- •2.Модификация критерия Гурвица для дискретных систем.
- •1.Доказать критерий устойчивости а.В. Михайлова.
- •2.Управляемость динамических систем. Теорема Калмана об управляемости.
- •3.Вынужденные колебания в нелинейных системах. Условия существования.
- •1.Доказать критерий устойчивости Найквиста.
- •2.Наблюдаемость динамических систем. Теорема Калмана о наблюдаемости.
- •3.Вынужденные колебания в нелинейных системах. Пороговая амплитуда возбуждающего сигнала. Вибрационное сглаживание разрывных характеристик.
- •2.Какое влияние оказывает элемент с запаздыванием на характеристики системы управления?
- •3.Качественный анализ переходных процессов в нелинейных системах, описываемых уравнениями высокого порядка.
- •1.В чем состоит основной принцип выделения границ области устойчивости в пространстве параметров?
- •2.Изложить аналитический подход к исследованию многомерной системы управления. Распространение понятия свертки на многомерные системы.
- •3.Выделение зон затухания и возрастания амплитуды автоколебаний нелинейных систем до установившегося значения.
- •1.Выделение области устойчивости в пространстве двух параметров. Особые прямые. Правила штриховки границы.
- •2.Сформулировать условия устойчивости линейной системы управления с медленно меняющимися параметрами.
- •3.Знакоопределенные и знакопостоянные функции. Связь с устойчивостью нелинейных систем.
- •1.Теорема а.М. Ляпунова об устойчивости в общем случае (с использованием знакоопределенных функций).
- •2.Анализ устойчивости релейной следящей системы с помощью функций а.М. Ляпунова.
- •3.Анализ устойчивости автопилота с нелинейным исполнительным элементом. Абсолютная устойчивость.
- •1.Общие приемы исследования нелинейных систем произвольного порядка.
- •2.Теоремы а.М. Ляпунова об асимптотической устойчивости и о неустойчивости.
- •1.Примеры элементов с нелинейными характеристиками.
- •2.Псевдолинейная коррекция частотных характеристик.
- •3.Преобразоание уравнения высокого порядка, описывающего линейную систему управления к нормальной системе в форме Коши.
2.Модификация критерия Гурвица для дискретных систем.
Выяснить вопрос о наличии или отсутствии условия устойчивости помогает критерий, представляющий собой развитие критерия Гурвица. Итак, рассмотрим систему рекуррентных соотношений вида
. (14.8)
Характеристическое уравнение ее в матричной форме имеет вид
. (14.9)
Этот определитель можно записать и в обычной форме алгебраического уравнения степени k, т.е.
.(14.10)
Решение системы (14.8) имеет вид
, (i=1,2,…k).
Из решения непосредственно следует, что устойчивость его гарантируется при условии |лямбда| < 1. Для того, чтобы воспользоваться известным критерием Гурвица, преобразуем левую полуплоскость корней характеристического уравнения во внутренность окружности единичного радиуса. Это можно сделать при помощи дробно-линейного преобразования вида
. (14.11)
Действительно, положив , без труда обнаруживаем
, т.е.
точки окружности переходят в точки мнимой оси и обратно, причем точка лямбда=0 внутренности окружности переходит в точку w= -1 левой полуплоскости.
Подставив (14.11) в (14.10), после приведения к общему знаменателю и группировки слагаемых с одинаковыми степенями получаем полином степени k, к которому следует применить критерий Гурвица. Если при этом обнаруживается, что Re w < 0, то следствием будет неравенство | λ | < 1.
3.Качественная оценка частоты и амплитуды автоколебаний релейной следящей системы при изменении параметров элементов.
Вначале получим выражения для коэффициентов гармонической линеаризации. Из рис.25.1 видно, что .
Здесь, 2b – ширина петли гистерезиса, a – амплитуда гармонического сигнала на входе реле. Аналогичным путем находим
Рис.25.1.Прохождение гармонического сигнала
через реле с гистерезисом
.
Далее для построения годографа обратной характеристики нелинейного элемента находим .
Как видим, обратный годограф нелинейного элемента представляет собой горизонтальный полубесконечный отрезок с отсчетом амплитуды a вправо (рис.25.2). На этом же чертеже построим годограф линейной части с отрицательным знаком (рис.25.2) .
Рис.25.2. Определение параметров автоколебаний
в системе с гистерезисом
Ввиду приближенного характера метода гармонической линеаризации вполне достаточно прочесть значения частоты и амплитуды в точке пересечения годографов линейной и нелинейной частей системы без интерполяции.
Перейдем к исследованию устойчивости автоколебаний с найденными параметрами. При этом полезным оказывается следующее элементарное рассуждение. Предположим, что амплитуда автоколебаний возросла. Тогда годограф линейной части не будет охватывать конец вектора и, следовательно, годограф произведения функций в левой части (25.1) не охватит критическую точку с координатами (-1,j.0) . Это означает, что система приобрела свойство устойчивости положения равновесия и колебания станут затухать. Однако затухание не приведет фазовую траекторию в начало координат, ибо мы снова придем в точку пересечения годографов. Если допустить уменьшение амплитуды автоколебаний (смещение влево вдоль годографа обратной характеристики нелинейной части), то годограф линейной части охватит критическую точку и система станет неустойчивой, т.е. амплитуда колебаний начнет возрастать. Таким образом, точка пересечения годографов на рис.25.2 соответствует устойчивым автоколебаниям.
При желании уточнить параметры автоколебаний графики на рис.25.2 также оказываются полезными. Кроме того, при качественном построении на годографах может отсутствовать оцифровка по частоте и амплитуде. Тогда, приравнивая мнимые части характеристик согласно уравнению (25.2), получаем условие. (25.3)
Решив полученное алгебраическое уравнение, найдем частоту автоколебаний . Приравнивая вещественные части характеристик, найдем соотношение для вычисления амплитуды автоколебаний ,(25.4)
в которое нужно подставить значение. При решении уравнения (25.3) из нескольких корней необходимо выбрать корень, подходящий по смыслу задачи. Для иллюстрации проделаем вычисления при следующих значениях параметров:
Подставив в (25.3) эти числа, запишем уравнение для вычисления частоты автоколебаний с единственным вещественным корнем. При этом значении частоты вещественная часть частотной характеристики.
Остается решить уравнение (25.4), которое при заданных значениях параметров принимает вид с вещественным корнем 0.4055.
Как и следовало ожидать, амплитуда автоколебаний несколько превышает половину ширины петли гистерезиса.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 15