- •1.Методы математического описания линейных систем управления.
- •2.Связь между частотными критериями устойчивости и методами выделения области устойчивости в пространстве параметров.
- •3.Аналитическое описание нелинейных элементов. Кусочно-линейная аппроксимация.
- •1.Типовые тестовые воздействия и их краткая характеристика.
- •2.Импульсная переходная характеристика линейной системы управления.
- •3.Метод фазового пространства исследования нелинейных систем.
- •1.Периодические и непериодические сигналы. Преобразование Лапласа.
- •2.Коэффициенты ошибок следящих систем.
- •3.Типы особых точек фазового пространства.
- •1.Передаточная функция линейной динамической системы. Классификация элементов.
- •2.Каким порядком астатизма должна обладать следящая система, чтобы при входном воздействии вида tn установившаяся ошибка была равна нулю?
- •3.Исследование следящей системы с нелинейным элементом типа «линейная зона с участками насыщения».
- •1.Общий вид дифференциального уравнения многомерной системы управления.
- •2.Оптимальный переходный процесс. Возможности реализации.
- •3.Исследование релейной следящей системы методом фазового пространства.
- •1.Годограф частотного оператора системы автоматического управления.
- •2. Синтез следящей системы с заданными показателями качества.
- •3.Исследование релейной следящей системы с гистерезисом.
- •1.Построить логарифмические характеристики заданного элемента.
- •2.Последовательность операций при построении характеристик корректирующих устройств.
- •3.Использование простых итераций при анализе нелинейных систем. Условия сходимости итераций.
- •1.Написать передаточную функцию по заданному графику амплитудной частотной характеристики.
- •2.Интегральная квадратическая оценка качества переходного процесса.
- •1.Построить логарифмическую частотную характеристику замкнутой следящей системы по заданному графику разомкнутой.
- •2.Интегральная оценка переходного процесса с экспоненциальным сглаживанием.
- •3. Исследование релейного автопилота. Скользящий режим.
- •1.Преобразование многоконтурных структурных схем.
- •2.Алгоритм поиска минимума интегральной оценки в пространстве параметров.
- •3.Метод гармонической линеаризации. Вычисление коэффициентов.
- •1.Записать передаточную функцию при заданной структурной схеме.
- •2.Связь между качеством переходного процесса и распределением нулей и полюсов передаточной функции.
- •3.Гармоническая линеаризация идеального реле.
- •1.Определение устойчивости движения по а.М. Ляпунову.
- •2.Способы модуляции в дискретных системах управления.
- •3.Аналитическое исследование автоколебаний при гармонической линеаризации.
- •1.Теорема а.М. Ляпунова об устойчивости для систем, допускающих линеаризацию.
- •2.Рекуррентные соотношения в дискретных системах управления.
- •3.Частотный подход к анализу автоколебаний.
- •1.Практическое применение критерия устойчивости Гурвица (не ниже 4-го порядка)..
- •2.Модификация критерия Гурвица для дискретных систем.
- •1.Доказать критерий устойчивости а.В. Михайлова.
- •2.Управляемость динамических систем. Теорема Калмана об управляемости.
- •3.Вынужденные колебания в нелинейных системах. Условия существования.
- •1.Доказать критерий устойчивости Найквиста.
- •2.Наблюдаемость динамических систем. Теорема Калмана о наблюдаемости.
- •3.Вынужденные колебания в нелинейных системах. Пороговая амплитуда возбуждающего сигнала. Вибрационное сглаживание разрывных характеристик.
- •2.Какое влияние оказывает элемент с запаздыванием на характеристики системы управления?
- •3.Качественный анализ переходных процессов в нелинейных системах, описываемых уравнениями высокого порядка.
- •1.В чем состоит основной принцип выделения границ области устойчивости в пространстве параметров?
- •2.Изложить аналитический подход к исследованию многомерной системы управления. Распространение понятия свертки на многомерные системы.
- •3.Выделение зон затухания и возрастания амплитуды автоколебаний нелинейных систем до установившегося значения.
- •1.Выделение области устойчивости в пространстве двух параметров. Особые прямые. Правила штриховки границы.
- •2.Сформулировать условия устойчивости линейной системы управления с медленно меняющимися параметрами.
- •3.Знакоопределенные и знакопостоянные функции. Связь с устойчивостью нелинейных систем.
- •1.Теорема а.М. Ляпунова об устойчивости в общем случае (с использованием знакоопределенных функций).
- •2.Анализ устойчивости релейной следящей системы с помощью функций а.М. Ляпунова.
- •3.Анализ устойчивости автопилота с нелинейным исполнительным элементом. Абсолютная устойчивость.
- •1.Общие приемы исследования нелинейных систем произвольного порядка.
- •2.Теоремы а.М. Ляпунова об асимптотической устойчивости и о неустойчивости.
- •1.Примеры элементов с нелинейными характеристиками.
- •2.Псевдолинейная коррекция частотных характеристик.
- •3.Преобразоание уравнения высокого порядка, описывающего линейную систему управления к нормальной системе в форме Коши.
2.Сформулировать условия устойчивости линейной системы управления с медленно меняющимися параметрами.
Для дальнейшего исследования устойчивости нам понадобится лемма Гронуолла-Беллмана.
Пусть ипри,, причем присправедливо неравенство, гдеc - положительная постоянная. Тогда .
Пользуясь леммой, рассмотрим устойчивость линейной дифференциальной системы с почти постоянной матрицей.
Теорема. Пусть система , (17.10) гдеA – постоянная матрица, устойчива в смысле Ляпунова. Тогда система ,(17.11) гдеитакже устойчива.
Доказательство.
Пусть X (t) - фундаментальная матрица решений системы (17.10) и X(0)=E . Рассматривая B (t) y как возмущение в (17.11) и пользуясь выводом (17.12) метода вариации постоянных, запишем .
Т.к. система (17.10) устойчива, то ее фундаментальная матрица решений ограничена, т.е. .
Следует оценка сверху .
Теперь используем лемму Гронуолла-Беллмана, согласно которой
.
Таким образом, система (17.11) также устойчива, что и требовалось.
В качестве простого примера рассмотрим уравнение вида . (17.12)
Вводя обозначение , приведем его к нормальной форме Коши. Очевидно, что в данном случае постоянная матрица.
Сравнение с (17.11) позволяет записать также .
Принимая в качестве нормы наибольшую абсолютную величину элементов, имеем .
Согласно теореме, предшествующей примеру, решение должно оставаться ограниченным.
3.Знакоопределенные и знакопостоянные функции. Связь с устойчивостью нелинейных систем.
Рассмотрим функцию на некотором множестве.
Здесь -n-мерный вектор. Действительная непрерывная функция называетсязнакопостоянной (знакоположительной или знакоотрицательной), если (или) при.
Далее, функция называетсяположительно определенной,в Z, если существует скалярная функция , такая, что
при ,
.
Пример 28.1.
Функция приявляется положительно определенной, т.к.
при x2 + y2 > 0; V =W= 0 при x = y = 0 .
При функцияV всего лишь знакоположительна.
Аналогично функция V ( t, X ) называется отрицательно определенной в Z , если найдется такая, что
при
и .
Положительно или отрицательно определенная функция называется знакоопределенной.
В теории автоматического управления функции, обладающие свойством положительной (или отрицательной) определенности введены А.М. Ляпуновым и играют основную роль при анализе устойчивости. Они могут принадлежать к различным классам. Нас, в частности, будут интересовать квадратичные формы, т.е. скалярные произведения вида , гдеA=AT – симметрическая матрица порядка , аX=(x1, x2 ,…, x n )T – вектор-столбец того же порядка. Таким образом, скалярная квадратичная форма записывается в виде
.(28.1)
Матрица A называется матрицей квадратичной формы. Очевидно, матрица и функция (28.1) связаны взимнооднозначно.
Для выяснения свойства положительной определенности функции (28.1) служит критерий Сильвестра:
Для того, чтобы квадратичная форма V(X) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы A и все ее диагональные миноры были положительны.
Пример 28.2.
Форма
не является положительно определенной. В самом деле, определитель
.
Заметим, что нулю равен и диагональный минор второго порядка.
Нетрудно убедиться, что форма положительно определенная.
Вернемся теперь к понятию устойчивости движения, с которым мы познакомились в прошлом семестре (см. лекцию 7) и введем некоторые дополнительные определения.
Пусть снова ,(28.2)
где - вектор состояния системы. При фиксированных компонентах вектор состояния, как мы знаем, указывает точку фазового пространства. Невозмущенным движением называется ограниченный вектор, удовлетворяющий уравнению (28.2), т.е..(28.3)
Разность называетсявозмущением. Вычитая (28.3) из (28.2), получаем дифференциальное уравнение в терминах возмущения
, (28.4)
которое, очевидно, обладает тривиальным решением .В пространствеэто тривиальное решение представляется осью времени (рис.28.1).
По-прежнему будем называть тривиальное решение устойчивым, если для любого существует пара величин, таких, что из условияследуетдля любогоt > T .
Если величина может принимать любое значение, то система (и невозмущенное движение) называетсяустойчивым в целом.
Наконец, если
движение называется асимптотически устойчивым.
Рис.28.1. Геометрическая интерпретация
устойчивого тривиального решения.
Запишем теперь (28.4) в скалярной форме, т.е. в виде системы дифференциальных уравнений
, (28.5)
а также продифференцируем по времени функцию , имея в виду (28.5),
. (28.6)
Выражение (28.6) называется производной функции V в силу системы (28.5). Компоненты можно рассматривать как составляющие вектора фазовой скорости. С другой стороны, градиентом функцииV называется вектор
.
Выражение (28.6) можно рассматривать как скалярное произведение вектора градиента функции V на вектор фазовой скорости , т. е.(рис.28.2)
. (28.7)
Производная функции V в силу системы (28.5) также является функцией координат вектора состояния. В дальнейшем введем для нее обозначение .
Рис. 28.2. Геометрическая интерпретация знака
производной в силу системы уравнений (28.5).
На рис.28.2 показано несколько линий уровня положительно определенной функции V. В малой окрестности начала координат они близки к эллипсам (это становится ясным, если вспомнить формулу разложения в ряд Тейлора функции многих переменных).
С другой стороны из (28.7) видно, что знак производной зависит от угла . В случае, когда угол острый, производная положительна, в случае тупого угла – она отрицательна. На рис.28.2 показан именно последний случай. При этом вектор фазовой скорости направлен вдоль фазовой траектории к началу координат, т.е. величина возмущения стремится к нулю. Это означает, что движение, описываемое уравнениями (28.5), устойчиво.
Подведем итог всему сказанному в виде теоремы Ляпунова об устойчивости.
Теорема.
Если для системы уравнений (28.5) существует знакоопределенная функция V ( X ), производная которой W ( X ) в силу системы (28.5) имеет противоположный знак по отношению к V, то решение системы устойчиво.
Доказательство.
Без ограничения общности будем считать функцию V ( X ) положительно определенной. Выберем и положим. Обозначим
на множестве .
Поскольку , то из непрерывности функцииV(X) следует существование такого числа > 0, что при.
Положим теперь, что начальные условия таковы, что . Из условия теоремы производная функцииV отрицательна вдоль решения . Поэтому функцияV не может возрастать вдоль этого решения. Следовательно,
. (28.8)
При этом . Если предположить, что это не так, то есть найдется, тогда
,
что противоречит (28.8). Остается утверждение , что и требовалось.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 20