- •1.Методы математического описания линейных систем управления.
- •2.Связь между частотными критериями устойчивости и методами выделения области устойчивости в пространстве параметров.
- •3.Аналитическое описание нелинейных элементов. Кусочно-линейная аппроксимация.
- •1.Типовые тестовые воздействия и их краткая характеристика.
- •2.Импульсная переходная характеристика линейной системы управления.
- •3.Метод фазового пространства исследования нелинейных систем.
- •1.Периодические и непериодические сигналы. Преобразование Лапласа.
- •2.Коэффициенты ошибок следящих систем.
- •3.Типы особых точек фазового пространства.
- •1.Передаточная функция линейной динамической системы. Классификация элементов.
- •2.Каким порядком астатизма должна обладать следящая система, чтобы при входном воздействии вида tn установившаяся ошибка была равна нулю?
- •3.Исследование следящей системы с нелинейным элементом типа «линейная зона с участками насыщения».
- •1.Общий вид дифференциального уравнения многомерной системы управления.
- •2.Оптимальный переходный процесс. Возможности реализации.
- •3.Исследование релейной следящей системы методом фазового пространства.
- •1.Годограф частотного оператора системы автоматического управления.
- •2. Синтез следящей системы с заданными показателями качества.
- •3.Исследование релейной следящей системы с гистерезисом.
- •1.Построить логарифмические характеристики заданного элемента.
- •2.Последовательность операций при построении характеристик корректирующих устройств.
- •3.Использование простых итераций при анализе нелинейных систем. Условия сходимости итераций.
- •1.Написать передаточную функцию по заданному графику амплитудной частотной характеристики.
- •2.Интегральная квадратическая оценка качества переходного процесса.
- •1.Построить логарифмическую частотную характеристику замкнутой следящей системы по заданному графику разомкнутой.
- •2.Интегральная оценка переходного процесса с экспоненциальным сглаживанием.
- •3. Исследование релейного автопилота. Скользящий режим.
- •1.Преобразование многоконтурных структурных схем.
- •2.Алгоритм поиска минимума интегральной оценки в пространстве параметров.
- •3.Метод гармонической линеаризации. Вычисление коэффициентов.
- •1.Записать передаточную функцию при заданной структурной схеме.
- •2.Связь между качеством переходного процесса и распределением нулей и полюсов передаточной функции.
- •3.Гармоническая линеаризация идеального реле.
- •1.Определение устойчивости движения по а.М. Ляпунову.
- •2.Способы модуляции в дискретных системах управления.
- •3.Аналитическое исследование автоколебаний при гармонической линеаризации.
- •1.Теорема а.М. Ляпунова об устойчивости для систем, допускающих линеаризацию.
- •2.Рекуррентные соотношения в дискретных системах управления.
- •3.Частотный подход к анализу автоколебаний.
- •1.Практическое применение критерия устойчивости Гурвица (не ниже 4-го порядка)..
- •2.Модификация критерия Гурвица для дискретных систем.
- •1.Доказать критерий устойчивости а.В. Михайлова.
- •2.Управляемость динамических систем. Теорема Калмана об управляемости.
- •3.Вынужденные колебания в нелинейных системах. Условия существования.
- •1.Доказать критерий устойчивости Найквиста.
- •2.Наблюдаемость динамических систем. Теорема Калмана о наблюдаемости.
- •3.Вынужденные колебания в нелинейных системах. Пороговая амплитуда возбуждающего сигнала. Вибрационное сглаживание разрывных характеристик.
- •2.Какое влияние оказывает элемент с запаздыванием на характеристики системы управления?
- •3.Качественный анализ переходных процессов в нелинейных системах, описываемых уравнениями высокого порядка.
- •1.В чем состоит основной принцип выделения границ области устойчивости в пространстве параметров?
- •2.Изложить аналитический подход к исследованию многомерной системы управления. Распространение понятия свертки на многомерные системы.
- •3.Выделение зон затухания и возрастания амплитуды автоколебаний нелинейных систем до установившегося значения.
- •1.Выделение области устойчивости в пространстве двух параметров. Особые прямые. Правила штриховки границы.
- •2.Сформулировать условия устойчивости линейной системы управления с медленно меняющимися параметрами.
- •3.Знакоопределенные и знакопостоянные функции. Связь с устойчивостью нелинейных систем.
- •1.Теорема а.М. Ляпунова об устойчивости в общем случае (с использованием знакоопределенных функций).
- •2.Анализ устойчивости релейной следящей системы с помощью функций а.М. Ляпунова.
- •3.Анализ устойчивости автопилота с нелинейным исполнительным элементом. Абсолютная устойчивость.
- •1.Общие приемы исследования нелинейных систем произвольного порядка.
- •2.Теоремы а.М. Ляпунова об асимптотической устойчивости и о неустойчивости.
- •1.Примеры элементов с нелинейными характеристиками.
- •2.Псевдолинейная коррекция частотных характеристик.
- •3.Преобразоание уравнения высокого порядка, описывающего линейную систему управления к нормальной системе в форме Коши.
2.Оптимальный переходный процесс. Возможности реализации.
Пусть на вход системы подается управляющее воздействие типа скачка определенной величины. Требуется отработать этот скачок за минимально возможное время. При этом имеются в виду ограничения, накладываемые характеристиками исполнительного элемента. В случае следящей системы, осуществляющей поворот на заданный угол, таким ограничением служит предельный крутящий момент, который может развить двигатель. Если величина скачка равна , то наиболее быстрый поворот на этот угол произойдет, если двигатель его первую половину будет вращаться с максимальным ускорением, а вторую – с максимально допустимым торможением. На рис.11.1 изображен график такого переходного процесса, который мы назовемоптимальным.
Этот принцип осуществления оптимального переходного процесса находится в противоречии с допущением о линейности следящей системы, ибо в линейной системе не предполагается ограничений по какой-либо переменной. При попытке осуществить этот процесс в рамках линейной теории, мы неизбежно обнаружим его неосуществимость. Тем не менее, полезно иметь в виду некоторую идеальную характеристику, которую следует реализовать со всем возможным приближением.
С этой целью найдем изображение оптимального переходного процесса по Лапласу. Затем, составив отношение полученного изображения к изображению скачка, попытаемся получить оптимальную передаточную функцию.
Итак, разгон двигателя происходит по закону ,
где а – предельное угловое ускорение, которое можно найти из очевидного соотношения.
Далее, оптимальный переходный процесс можно представить в виде суммы
.
Преобразуя по Лапласу, имеем .
Изображение входного скачка .
и, следовательно, искомая передаточная функция замкнутой следящей системы
. (11.1)
Полученное выражение показывает, что оптимальная передаточная функция не может быть реализована линейными средствами, ибо передаточные функции линейных систем принадлежат к классу дробно-рациональных функций переменной s, в то время как в (11.1) мы имеем набор трансцендентных функций, не принадлежащих к классу полиномов.
Построим передаточную функцию разомкнутой системы, используя очевидное соотношение
. (11.2)
Прежде всего, интересно асимптотическое поведение этой функции при . Для выяснения этого достаточно выписать разложение числителя в окрестности нуля до четвертого порядка:
.
Нетрудно заметить, что в знаменателе (11.2) ряд начнется с третьей степени параметра s, в то время как в числителе нет степени ниже второй. Следовательно, асимптотическое поведение передаточной функции определяется величиной 1/s, т.е. наклон низкочастотной асимптоты составляет –20 дБ/дек как у системы первого порядка астатизма.
Далее, следует выяснить, какова частота среза амплитудной частотной характеристики . Значение этой частоты находится из условия, (11.3)
т.е. на этой частоте логарифмическая амплитудная характеристика разомкнутой системы пересекает линию нулевых децибел. Для вычисления этой частоты заметим, что ввиду (11.3) можно записать , где- некоторый фазовый угол, соответствующий частоте среза.
Имея в виду связь между передаточными функциями разомкнутой и замкнутой систем, запишем также .
Таким образом, на частоте среза всегда действительная частотная характеристика замкнутой системы равна 0.5 . Воспользовавшись полученным результатом, выделим действительную часть из (11.1). Обозначив для краткости ,
получаем уравнение относительно x . (11.4)
На рис.11.2 показан график левой части, из которого видно, что помимо корня x=0 , это уравнение имеет еще два корня, весьма близких к 2 по абсолютной величине. Ограничиваясь положитель-
Рис.11.2.Графическое решение уравнения (11.4).
ным корнем, приходим к заключению о величине частоты среза оптимальной частотной характеристики разомкнутой системы.
Графическое изображение этой характеристики дает полное представление о свойствах оптимальной передаточной функции. На рис.11.3 виден, в частности весьма сложный характер ее поведения в области высоких частот, что заставляет еще раз убедиться в неосуществимости реализации оптимального переходного процесса в линейных системах с сосредоточенными параметрами. Однако этот же график в области средних и низких частот вполне реализуется обычными линейными средствами. К этому следует добавить, что очень часто форма частотной характеристики в высокочастотной области не оказывает заметного влияния на форму переходного процесса. Поэтому полученные результаты оказываются полезными при конструировании следящих систем на стадии предварительного синтеза.
Рис.11.3.Логарифмическая амплитудная частотная характеристика оптимальной разомкнутой системы.