- •1.Методы математического описания линейных систем управления.
- •2.Связь между частотными критериями устойчивости и методами выделения области устойчивости в пространстве параметров.
- •3.Аналитическое описание нелинейных элементов. Кусочно-линейная аппроксимация.
- •1.Типовые тестовые воздействия и их краткая характеристика.
- •2.Импульсная переходная характеристика линейной системы управления.
- •3.Метод фазового пространства исследования нелинейных систем.
- •1.Периодические и непериодические сигналы. Преобразование Лапласа.
- •2.Коэффициенты ошибок следящих систем.
- •3.Типы особых точек фазового пространства.
- •1.Передаточная функция линейной динамической системы. Классификация элементов.
- •2.Каким порядком астатизма должна обладать следящая система, чтобы при входном воздействии вида tn установившаяся ошибка была равна нулю?
- •3.Исследование следящей системы с нелинейным элементом типа «линейная зона с участками насыщения».
- •1.Общий вид дифференциального уравнения многомерной системы управления.
- •2.Оптимальный переходный процесс. Возможности реализации.
- •3.Исследование релейной следящей системы методом фазового пространства.
- •1.Годограф частотного оператора системы автоматического управления.
- •2. Синтез следящей системы с заданными показателями качества.
- •3.Исследование релейной следящей системы с гистерезисом.
- •1.Построить логарифмические характеристики заданного элемента.
- •2.Последовательность операций при построении характеристик корректирующих устройств.
- •3.Использование простых итераций при анализе нелинейных систем. Условия сходимости итераций.
- •1.Написать передаточную функцию по заданному графику амплитудной частотной характеристики.
- •2.Интегральная квадратическая оценка качества переходного процесса.
- •1.Построить логарифмическую частотную характеристику замкнутой следящей системы по заданному графику разомкнутой.
- •2.Интегральная оценка переходного процесса с экспоненциальным сглаживанием.
- •3. Исследование релейного автопилота. Скользящий режим.
- •1.Преобразование многоконтурных структурных схем.
- •2.Алгоритм поиска минимума интегральной оценки в пространстве параметров.
- •3.Метод гармонической линеаризации. Вычисление коэффициентов.
- •1.Записать передаточную функцию при заданной структурной схеме.
- •2.Связь между качеством переходного процесса и распределением нулей и полюсов передаточной функции.
- •3.Гармоническая линеаризация идеального реле.
- •1.Определение устойчивости движения по а.М. Ляпунову.
- •2.Способы модуляции в дискретных системах управления.
- •3.Аналитическое исследование автоколебаний при гармонической линеаризации.
- •1.Теорема а.М. Ляпунова об устойчивости для систем, допускающих линеаризацию.
- •2.Рекуррентные соотношения в дискретных системах управления.
- •3.Частотный подход к анализу автоколебаний.
- •1.Практическое применение критерия устойчивости Гурвица (не ниже 4-го порядка)..
- •2.Модификация критерия Гурвица для дискретных систем.
- •1.Доказать критерий устойчивости а.В. Михайлова.
- •2.Управляемость динамических систем. Теорема Калмана об управляемости.
- •3.Вынужденные колебания в нелинейных системах. Условия существования.
- •1.Доказать критерий устойчивости Найквиста.
- •2.Наблюдаемость динамических систем. Теорема Калмана о наблюдаемости.
- •3.Вынужденные колебания в нелинейных системах. Пороговая амплитуда возбуждающего сигнала. Вибрационное сглаживание разрывных характеристик.
- •2.Какое влияние оказывает элемент с запаздыванием на характеристики системы управления?
- •3.Качественный анализ переходных процессов в нелинейных системах, описываемых уравнениями высокого порядка.
- •1.В чем состоит основной принцип выделения границ области устойчивости в пространстве параметров?
- •2.Изложить аналитический подход к исследованию многомерной системы управления. Распространение понятия свертки на многомерные системы.
- •3.Выделение зон затухания и возрастания амплитуды автоколебаний нелинейных систем до установившегося значения.
- •1.Выделение области устойчивости в пространстве двух параметров. Особые прямые. Правила штриховки границы.
- •2.Сформулировать условия устойчивости линейной системы управления с медленно меняющимися параметрами.
- •3.Знакоопределенные и знакопостоянные функции. Связь с устойчивостью нелинейных систем.
- •1.Теорема а.М. Ляпунова об устойчивости в общем случае (с использованием знакоопределенных функций).
- •2.Анализ устойчивости релейной следящей системы с помощью функций а.М. Ляпунова.
- •3.Анализ устойчивости автопилота с нелинейным исполнительным элементом. Абсолютная устойчивость.
- •1.Общие приемы исследования нелинейных систем произвольного порядка.
- •2.Теоремы а.М. Ляпунова об асимптотической устойчивости и о неустойчивости.
- •1.Примеры элементов с нелинейными характеристиками.
- •2.Псевдолинейная коррекция частотных характеристик.
- •3.Преобразоание уравнения высокого порядка, описывающего линейную систему управления к нормальной системе в форме Коши.
3.Вынужденные колебания в нелинейных системах. Пороговая амплитуда возбуждающего сигнала. Вибрационное сглаживание разрывных характеристик.
Исследование вынужденных колебаний в нелинейных системах связано с определенными затруднениями из-за невозможности применения принципа суперпозиции, которым мы часто пользовались при исследовании линейных систем. Если на вход нелинейной системы поступает гармоническое воздействие, то на ее выходе возникает сложный многочастотный режим. Принцип гармонической линеаризации основан на отбрасывании высших гармоник. При этом рассматриваются наиболее простые одночастотные вынужденные колебания. На рис.26.1 представлена структурная схема с периодическим воздействием на входе.
Рис.26.1. Система с периодическим воздействием на входе.
Применяя принцип гармонической линеаризации, запишем нелинейную характеристику в виде .
Предполагая, что выход нелинейной системы - гармоническая функция той же частоты, что и входное воздействие, запишем .
Заменив, как обычно, в операторах, показанных на структурной схеме s на j, имеем .
Т.к. экспоненциальная функция не обращается в нуль ни при каком значении времени t, то в результате сокращения получаем
(26.1)
Уравнение (26.1) содержит две неизвестные величины: амплитуду a установившихся колебаний выходной координаты и ее фазу . Решение уравнения можно получить, имея в виду весьма прозрачное графическое толкование. Записав уравнение в форме
, (26.2)
замечаем, что правая часть не зависит от частоты и при изменении фазы в пределах геометрически соответствует окружности радиусаB. Левая же часть Z(a,) при фиксированном значении амплитуды a и переменной частоте соответствует некоторому годографу, который может быть построен по обычным правилам (с выделением вещественной и мнимой частей). На рис.26.2 показаны годограф левой части уравнения (26.1) и окружность радиуса B с центром в начале координат.
Рис.26.2.Графическое решение уравнения (26.2)
Из рис.26.2 видно, что при значении амплитуды внешнего воздействия решения уравнения (26.2) не существует. При радиусе окружности, превышающем пороговое значения амплитуды внешнего воздействия решение возможно в точке пересечения годографа левой частиZ( a ,) с окружностью. При этом определяется значение частоты и фазы при выбранном значении амплитуды a для построения годографа. Можно поступить наоборот – построить семейство годографов с параметром a и набора фиксированных значений частоты и определить пороговую амплитуду входного воздействия, при которой одночастотный режим возникает на выходе нелинейной системы. При этом можно выявить резонансные свойства системы, а также явление так называемого захвата частоты. Таким путем можно получить зависимость порогового значения входного воздействия от частоты (рис.26.3). С другой стороны можно получить однопараметрическое семейство частотных характеристик нелинейной системы, т.е. зависимости амплитуды выходного сигнала от частоты для различных значений амплитуды входного воздействия. Здесь следует вспомнить, что в случае линейной системы амплитудная частотная характеристика не зависела от амплитуды входного воздействия.
Рис.26.3. Зависимость пороговой амплитуды
от частоты возмущающего воздействия
На рис.26.3 изображена зависимость, характерная для нелинейной системы с выраженными резонансными свойствами. У нее существует некоторый отличный от нуля интервал частот, на которых происходит навязывание частоты внешнего воздействия даже при очень малых значениях амплитуды. Вне этого интервала при недостаточно большой амплитуде возникают лишь многочастотные режимы, математическая модель которых выходит за рамки основной гипотезы, принятой нами в самом начале относительно вида выходного сигнала. Исследование этих режимов требует более подробного математического моделирования.
Особенно интересным представляется случай, когда на вход нелинейной системы поступают два входных воздействия – «медленное» g(t) и «быстрое» f (t). Дополним уравнение (26.1) и запишем соответствующее соотношение в виде . (26.3)
Здесь быстрое воздействие по-прежнему будем считать гармоническим, т.е., например,.
Медленное же воздействие (например, управляющее) таково, что его изменением можно пренебречь на протяжении одного периода 2 быстрых колебаний. Решение уравнения (26.3) на этот раз будем искать в виде,где- периодическая часть решения, а- медленная часть реакции нелинейной системы на сумму быстрого и медленного входных воздействий. Соответственно при гармонической линеаризации нелинейную характеристику представим в виде.
Здесь коэффициенты гармонической линеаризации вычисляются по формулам
,, (26.4)
.
Вставим выражения (26.4) вместо в уравнение (26.3 и выделим быструю и медленную часть из полученного результата.
,(26.5)
Систему (26.5) следует решить относительно a и , затем, сопоставив эти решения, получить вместо функции двух переменных зависимость.
Любопытно, что последняя зависимость является непрерывной функцией переменной даже в случае разрывной нелинейной характеристикиМы продемонстрируем этот факт на простом примере. Возникновение гладкой функции в присутствии высокочастотного гармонического сигнала принято называтьвибрационным сглаживанием.
Пример 26.1.
Пусть и найдем.
Необходимые вычисления выполняются достаточно просто, если воспользоваться графиком подынтегральной функции (рис.26.4), которая в данном случае является кусочно-постоянной. Таким образом, .
Здесь угол находится из очевидного равенства,
Откуда .
Рис.26.4. Вибрационное сглаживание в случае
разрывной характеристики.
Следовательно,.
Линеаризация этой характеристики выполняется обычным путем, т.е. построением касательной в точке . Окончательно имеем.
Полученный результат можно теперь подставить в «медленное» уравнение (первое уравнение (26.5)) и в дальнейшем исследовать его методами линейной теории. Итак, процесс управления при наличии вибраций описывается уравнением .
Возникновение гладкой функции в присутствии высокочастотного гармонического сигнала принято называтьвибрационным сглаживанием.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 17
1.Какими свойствами должна обладать местная обратная связь для сохранения порядка астатизма при полиномиальном входном воздействии?