1.9. Скорость и ускорение некоторой точки манипулятора

В этом параграфе будут выведены формулы, по которым можно будет вычислять скорость и ускорение любой точки манипулятора в базовой системе координат. Скорость точки будет получена как первая производная от радиуса-вектора точки, определяемого уравнением кинематики (1.36), а ускорение – как вторая производная от радиуса-вектора. Поскольку все точки различны, то в общем случае у каждой точки будут свои скорость и ускорение.

Вначале рассмотрим матрицы T_i (i=1,...,n), которые обладают определенными свойствами. Если i-е сочленение – вращательное (обобщенной координатой q_i является угол _i), то

= G₁T_i , (1.37)

где

G₁ = . (1.38)

Если i-е сочленение – поступательное (обобщенной координатой q_i является величина s_i), то

= G₂T_i , (1.39)

где

G₂ = . (1.40)

Свойства (1.37), (1.39) интересны тем, что операция дифференцирования матрицы заменяется операцией умножения матриц. В справедливости этих свойств можно убедиться с помощью непосредственной проверки.

Соотношения (1.37), (1.39) обычно записываются в единой форме:

= D_iT_i, (i=1,...,n), (1.41)

где D_i = G₁, если сочленение вращательное, и D_i = G₂, если сочленение поступательное.

Теперь найдем скорость и ускорение произвольной точки А манипулятора в неподвижной системе координат.

Пусть некоторая точка А манипулятора в i-й системе координат имеет радиус-вектор r_i^A = (x_i^A, y_i^A, z_i^A, 1)^T. Положение данной точки в базовой системе координат задается радиусом-вектором r₀^A согласно (1.36). Тогда вектор скорости v₀^A точки А в базовой системе координат определится следующим образом:

v₀^A = (r₀^A) = (S_i(q₁(t), q₂(t),..., q_i(t))r_i^A) = (T₁(q₁(t))T₂(q₂(t))...T_i(q_i(t))r_i^A) = T₂(q₂(t))... · T_i(q_i(t))r_i^A +

+ T₁(q₁(t)) ... T_i(q_i(t))r_i^A + ... +

+ T₁(q₁(t)) T₂(q₂(t))...  r_i^A =

= |в соответствии с (1.41) = D_jT_j (q_j(t))| =

= D₁T₁(q₁(t)) T₂(q₂(t))... ×

× T_i(q_i(t))  r_i^A +

+ T₁(q₁(t))D₂T₂(q₂(t)) ... T_i(q_i(t)) r_i^A + ... +

+ T₁(q₁(t))T₂(q₂(t)) ... D_iT_i(q_i(t)) r_i^A.

Обозначим

S_i^j(q₁(t),...,q_i(t)) = T₁T₂...T_j-1D_jT_j...T_i . (1.42)

Тогда

v₀^A = S_i¹(q₁(t),...,q_i(t))  r_i^A + S_i²(q₁(t),...,q_i(t))  r_i^A + ... +

+ S_iⁱ(q₁(t), ... , q_i(t))  r_i^A =

= r_i^A . (1.43)

Дифференцированием (1.43) по t найдем ускорение точки А в базовой системе координат:

w₀^A = (v₀^A) = ( r_i^A) =

r_i^A +

+ r_i^A =

=| = + +…+

+ | =

= r_i^A +

+ ) r_i^A . (1.44)

Вычислим отдельно

.

1. Для случая, когда k > j,

= (T₁(q₁(t) ... T_j-1(q_j-(t))D_jT_j(q_j(t))... 

 T_i(q_i(t))) = T₁(q₁(t)) ... T_j-1(q_j-1(t))D_jT_j(q_j(t))... 

 T_k-1(q_k-1(t))D_kT_k(q_k(t))·...·T_i(q_i(t)). (1.45)

2. Для случая, когда k < j:

=

= T₁(q₁(t))... T_k-1(q_k-1(t))D_kT_k(q_k(t))...T_j-1(q_j-1(t)) 

 D_jT_j(q_j(t))·...·T_i(q_i(t)). (1.46)

3. Для случая, когда k=j,

= T₁(q₁(t))...T_j-1(q_j-1(t)) 

 D_j²T_j(q_j(t))·…·T_i(q_i(t)). (1.47)

4. Для случая, когда k > i,

= 0.

Введем обозначение: