Примеры решения задач

Задача 1. Вычислите матрицы инерции H_i (i=1, 2, 3) звеньев манипулятора (рис. 1.20).

Решение. Для составления уравнений движения манипулятора в форме уравнений Лагранжа II рода необходимо знать матрицы инерции звеньев H_i, (i=1,2,3), определенных по формуле (2.14).

Интегралы в (2.14) берут по объему U звена i (i = 1, 2, 3). Они являются тройными интегралами, которые более детально записывают в виде

, (2.51)

где dv – элемент объема. Вычисление интеграла (2.51) сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов по каждой из переменных x, y, z. Пределы интегрирования расставляются в зависимости от формы области U.

Звенья манипулятора будем рассматривать как однородные сплошные или тонкостенные полые цилиндры (рис. 2.2).

Найдем матрицу инерции для первого звена, считая его цилиндром с радиусом R₁ и высотой l₁ (длина звена).

Матрица инерции зависит от выбора системы координат. Первое звено расположено относительно системы координат P₁x₁y₁z₁ так, как указано на рис. 2.3 (сравните с рис. 1.21). Тогда областью U₁ является внутренность цилиндра.

Вычислим все интегралы, составляющие матрицу (2.14), для случая i = 1. В силу предположения однородности материала звеньев имеем

dm₁=dv,

где  – плотность материала, dv – элемент объема.

Вычислим все элементы первой строки матрицы H₁:

= . (2.52)

П ри введении цилиндрических координат r, , y₁ по системе уравнений

(2.53)

получаем

= , (2.54)

где x взято в соответствии с (2.53) и I – якобиан преобразования переменных, который для цилиндрических координат равен r.

Итак, имеем

= = =

= = . (2.55)

При вычислении интеграла область интегрирования остается той же самой, меняется подынтегральная функция.

Вместо y₁ и z₁ подставляются их выражения из (2.53):

= = 0. (2.56)

Аналогично подсчитывается следующий интеграл:

= = 0. (2.57)

Вычислим интеграл . Аналогично формуле (2.55) имеем

= = 0. (2.58)

При вычислении элементов второй строки матрицы H₁ получаем = 0 (в соответствии с (2.56)):

= = = , (2.59)

= = 0, (2.60)

= = . (2.61)

В силу симметричности матрицы H_i, (i=1,2,3) имеем

= = = 0, (2.62)

= = =

=

= , (2.63)

= = 0. (2.64)

Итак, в соответствии с формулами (2.55)–(2.64) имеем (учитывая, что – объем звена 1, а – масса звена 1):

H₁ = . (2.65)

Звено 2 считаем однородным тонкостенным цилиндром. Взаимное расположение второго звена и системы координат P₂x₂y₂z₂ показано на рис. 2.4.

Объемом U₂, по которому берутся интегралы для звена 2, является внутренность тонкой стенки.

Переходя к цилиндрическим координатам r, , z₂:

, (2.66)

получаем, что для данного объема U₂ и произвольной функции f(x₂, y₂, z₂) интеграл

= (2.67)

преобразуется к виду

= . (2.68)

Подставляя в формулу (2.68) последовательно функции , y₂x₂, z₂x₂, x₂, , , z₂y₂, y₂, z₂ и вычисляя интегралы, имеем

= = , (2.69)

= = = = = 0, (2.70)

= = , (2.71)

= = , (2.72)

= = , (2.73)

где m₂ – масса звена 2.

Итак, на основании формул (2.69)–(2.73) получаем

H₂ = . (2.74)

Для звена 3 взаимное расположение звена (которое считаем сплошным цилиндром длины l₃ и радиуса R₃) и системы координат P₃x₃y₃z₃ представлено на рис. 2.5.

Аналогично (2.68) получаем формулу

= (2.75)

для вычисления элементов матрицы H₃.

Проводя эти вычисления аналогично (2.55)–(2.64) и (2.69)–(2.73), получаем

H₃ = . (2.76)

Задача 2. Вычислить кинетическую и потенциальную энергии манипулятора (см. рис. 1.20).

Решение. В соответствии с формулой (2.19) кинетическая энергия манипулятора имеет вид

K = . (2.77)

Матрицы , , являются производными матриц S₁(q(t)) и S₂(q(t)), задаваемых формулами (1.67), (1.68):

= = , (2.78)

= = , 2.79)

= = . (2.80)

Подставляя матрицы в (2.77) и проводя перемножения, получаем формулу кинетической энергии манипулятора в зависимости от q₁, q₂, q₃, , , .

Найдем потенциальную энергию манипулятора в соответствии с формулой (2.26). В нашем случае потенциальная энергия

П = , (2.81)

где g – ускорение силы тяжести; ₃ = (0, 0, 1, 0); m_i (i=1,2,3) – массы звеньев; S₁, S₂, S₃ – матрицы, определяемые формулами (1.67)–(1.69); – координаты центра масс i-го звена в системе координат, связанной со звеном i. Считаем, что центры масс расположены на середине звеньев. Тогда, с учетом введенных систем координат, имеем

 (2.82)

Подставляя (1.67) – (1.69) в (2.81) и проводя вычисления, получаем

П = . (2.83)

Задача 3. Вывести уравнение динамики для манипулятора, состоящего из двух звеньев (рис. 2.6).

Массы первого и второго звеньев равны, соответственно, m₁ и m₂, длины звеньев – l₁ и l₂, радиусы – R₁ и R₂. Звенья считаем сплошными однородными цилиндрами. Все движение происходит в плоскости x₀P₀y₀.

Решение. Уравнение динамики имеет вид (2.84). По этому уравнению можно узнать, как изменяются обобщенные силы, если известно, как изменяются обобщенные координаты. Кроме того, можно узнать, как изменяются обобщенные координаты, если известно, как изменяются обобщенные силы.

(2.84)