1.2. Кинематика произвольного движения тела,

имеющего одну общую точку с неподвижной

системой координат

Система P_ix_iy_iz_i вращается относительно системы P_ixyz, имея с ней одну общую точку P_i (рис. 1.5). Систему P_ixyz считаем неподвижной.

Введем единичные векторы у обеих систем (рис. 1.6)

Векторы e₁, e₂, e₃ являются единичными векторами системы P_ixyz, векторы b₁, b₂, b₃ – единичными векторами системы P_ix_iy_iz_i, это видно на рис. 1.6,

e₁ = , e₂ = , e₃ = , b₁ = , b₂ = , b₃ = .

Радиус-вектор точки А в системе O_ixyz записывается следующим образом:

r^A = x^Ae₁ + y^Ae₂ + z^Ae₃. (1.1)

Радиус-вектор точки А в системе P_ix_iy_iz_i имеет вид

r^A = x_i^Ab₁ + y_i^Ab₂ + z_i^Ab₃. (1.2)

Рассмотрим вектор b_i, i=1,2,3 и выразим его через единичные векторы системы P_ixyz. Для этого спроектируем вектор b_i на оси системы координат P_ixyz (рис.1.7).

Получим координаты вектора b₁ в системе координат P_ixyz:

b_i = c_i1e₁ + c_i2e₂ + c_i3e₃, (1.3)

здесь c_i1, c_i2, c_i3 – проекции вектора b_i, соответственно, на оси x, y и z.

Проекции c_i1, c_i2, c_i3 получены путем проведения перпендикуляров на оси x, y и z. Таким образом, мы получили три прямоугольных треугольника, и это дает нам право написать следующее:

c_i1= b_ix = |b_i|cos (b_i, e₁) = cos (b_i, e₁), так как |b_i| = 1; (1.4)

c_i2 = b_iy = |b_i|cos (b_i, e₂) = cos (b_i, e₂); (1.5)

c_i3 = b_iz = |b_i|cos (b_i, e₃) = cos (b_i, e₃), (1.6)

где cos(b_i, e_j) означает косинус угла между векторами b_i и e_j.

Из формул (1.2) и (1.3) получаем

r^A = x_i^A( c₁₁e₁ + c₁₂e₂ + c₁₃e₃) +

+ y_i^A( c₂₁e₁ + c₂₂e₂ + c₂₃e₃) +

+ z_i^A( c₃₁e₁ + c₃₂e₂ + c₃₃e₃) =

= e₁( x_i^Ac₁₁ + y_i^Ac₂₁ + z_i^Ac₃₁) +

+ e₂( x_i^Ac₁₂ + y_i^Ac₂₂ + z_i^Ac₃₂) +

+ e₃( x_i^Ac₁₃ + y_i^Ac₂₃ + z_i^Ac₃₃). (1.7)

Кроме того, мы имеем формулу (1.1). Сопоставив (1.1) и (1.7), запишем:

. (1.8)

Итак, мы получили координаты точки А в системе P_ixyz. Величины c_ij называются направляющими косинусами. В матричной записи формула (1.8) имеет вид

= . (1.9)

Матрицу С в формуле (1.9) можно записать в виде

C = (1.10)

или в виде

C = . (1.11)

Матрица С содержит 9 неизвестных величин, которые представляют собой косинусы углов между осями систем P_ixyz и P_ix_iy_iz_i. Если тело вращается, то углы между осями меняются и, как следствие, меняются величины (x^A, y^A, z^A).

Покажем, что в матрице С независимыми являются только три элемента, а остальные шесть можно выразить через эти три элемента. Запишем соотношения для единичных векторов b₁, b₂, b₃:

|b₁| = 1, следовательно, = 1; (1.12)

|b₂| = 1, следовательно, = 1; (1.13)

|b₃| = 1, следовательно, = 1; (1.14)

(b₁, b₂) = 0, следовательно, b_1xb_2x + b_1yb_2y + b_1zb_2z = 0; (1.15)

(b₁, b₃) = 0, следовательно, b_1xb_3x + b_1yb_3y + b_1zb_3z = 0; (1.16)

(b₂, b₃) = 0, следовательно, b_2xb_3x + b_2yb_3y + b_2zb_3z = 0. 1.17)

Уравнения (1.12–1.17) выражают условие взаимной перпендикулярности векторов b₁, b₂, b₃ (известно, что если векторы a и b перпендикулярны, то их скалярное произведение (a, b) = 0).

В шести приведенных уравнениях имеем девять неизвестных. Придаем произвольные значения любым трем из них и получаем возможность вычислить остальные шесть. Отсюда видно, что в матрице С неизвестными и независимыми являются только три элемента.