Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислите кинетическую энергию манипулятора (рис. 2.7).

2. Вычислите потенциальную энергию манипулятора (рис. 2.7).

3. Составьте уравнение динамики манипулятора (рис. 2.7).

3. Планирование путей, траекторий и управление манипуляторами

3.1. Понятие пространства обобщенных координат.

Постановки задачи

При изложении вопросов, касающихся планирования траекторий манипуляторов, часто используют понятие “пространство обобщенных координат”. Поясним, что оно означает.

Известно, что движение точки в трехмерном пространстве можно исчерпывающе описать тремя функциями: x(t), y(t) и z(t). Имея набор функций x(t), y(t) и z(t), например, x(t) = 5t+2, y(t) = 6t²+e^t, z(t) = 8t³+2t, мы можем брать произвольный момент времени t, подставлять его в функции x(t), y(t) и z(t) и получать информацию о том, где находится материальная точка в данный момент времени. Любое тело (или совокупность тел) является множеством точек. И тогда, если для каждого i есть функции x_i(t), y_i(t), z_i(t), i = 1,2, ... , (i – номер точки, входящей в тело), то получим полное описание движения тела в пространстве. Однако, поскольку точек, образующих тело, бесконечно много, то такой способ описания движения тела (не говоря уже о совокупности тел) является нереальным.

Движение манипулятора (см. гл. 1) можно также описывать с помощью обобщенных координат, причем их количество будет равно числу звеньев манипулятора. Изобразим пространство обобщенных координат (рис. 3.1).

Пусть мы имеем функции q₁(t), q₂(t), ..., q_n(t), рассказывающие нам о том, как изменяются обобщенные координаты манипулятора. Возьмем некоторый момент времени t^*, подставим его в функции q₁(t), q₂(t), ..., q_n(t) и получим числа q₁^*, q₂^*, ..., q_n^*, являющиеся координатами некоторой точки q^* в пространстве обобщенных координат. Таким образом, в пространстве обобщенных координат манипулятор в каждый момент времени предстает как точка, что, очевидно, резко упрощает описание его движения.

При управлении манипуляторами, как правило, приходится решать следующую задачу: необходимо переместить манипулятор из одного положения в другое. Любое положение манипулятора описывается вектором обобщенных координат. Положение манипулятора в пространстве в данный момент времени называется конфигурацией манипулятора, поэтому пространство обобщенных координат называется также пространством конфигураций.

Итак, манипулятор необходимо переместить из одной конфигурации (обозначим ее q⁰) в другую (обозначим ее q^T). Конфигурация q⁰ характеризуется вектором обобщенных координат q⁰ = (q₁⁰, q₂⁰,..., q_n⁰), конфигурация q^T – вектором обобщенных координат q^T = (q₁^T, q₂^T,..., q_n^T). В пространстве обобщенных координат эти конфигурации предстанут как точки q⁰ и q^T с координатами, соответственно, (q₁⁰, q₂⁰,..., q_n⁰) и (q₁^T, q₂^T,..., q_n^T).

Чтобы манипулятор (см. рис. 2) передвинулся из одной конфигурации в другую, необходимо проделать следующие операции:

а) получить вектор q(t), описывающий движение манипулятора;

б) подставив его в уравнение динамики, вычислить обобщенные силы Q(t);

в) приложить эти силы к звеньям манипулятора.

Операция получения вектора q(t) называется планированием пути манипулятора. Если планируется и путь q(t), и обеспечивающее его управление, то q(t) называется траекторией. Обратившись к пространству обобщенных координат, мы увидим, что требуется сгенерировать линию, соединяющую точки q⁰ и q^T. Для этого необходимо получить такие формулы для q₁(t), q₂(t), ..., q_n(t), чтобы в начальный момент времени (обозначим его t₀) выполнялось условие

q₁(t₀) = q₁⁰,

q₂(t₀) = q₂⁰,

…

q_n(t₀) = q_n⁰,

а в конечный момент времени (обозначим его Т) – условие

q₁(T) = q₁^T,

q₂(T) = q₂^T,

…

q_n(T) = q_n^T.

Кроме того, на траекторию могут накладываться и другие условия, которые приведены в рассматриваемых ниже постановках задач.

Приведем основные типы постановок задач планирования путей и траекторий движения n-звенного манипулятора.

1. Дана начальная конфигурация манипулятора, характеризуемая вектором q⁰, и целевая конфигурация q^T. Необходимо найти такую вектор-функцию q(t), которая соединяла бы точки q⁰ и q^T и удовлетворяла следующим ограничениям:

a¹  q(t)  a², (3.1)

b¹  (t)  b², (3.2)

w¹  (t)  w². (3.3)

Соотношения (3.1)–(3.3) означают, что звенья манипулятора не могут занимать произвольные положения и иметь произвольные скорости и ускорения, а должны принимать эти значения только из определенного диапазона.

2. Имеется начальная конфигурация q⁰, и задано желаемое положение X^T схвата манипулятора. Найти траекторию, которая соединяет q⁰ и ту конфигурацию, которая соответствует желаемому положению схвата, при этом должны выполняться ограничения (3.1)–(3.3).

Решив для X^T обратную задачу кинематики, мы получаем вектор обобщенных координат q^T, соответствующий желаемому положению схвата, и приходим к задаче 1.

3. В трехмерном пространстве задана траектория X(t) движения схвата. Надо найти закон изменения обобщенных координат во времени q(t), при этом должны выполняться ограничения (3.1)–(3.3). Если в каждый момент времени решение обратной задачи кинематики единственно, то в результате решения этой задачи мы получаем нужную траекторию q(t). Если траектория не удовлетворяет ограничениям, то манипулятор данную траекторию реализовать не может.

4. В пространстве конфигураций имеются запрещенные точки q₁, q₂, …, q_m, которые соответствуют препятствиям в рабочей зоне манипулятора. Даны q⁰ и q^T. Необходимо найти такую траекторию (путь) в пространстве обобщенных координат, описываемую вектор-функцией q(t), которая соединяла бы точки q⁰ и q^T, удовлетворяла бы ограничениям (3.1)–(3.3) и ни одной своей точкой не накладывалась бы ни на одну из запрещенных точек q₁, q₂, …, q_m.

5. Даны q⁰ и q^T. Препятствия в зоне перемещения манипулятора, возможно, присутствуют, но их местоположение неизвестно. Необходимо сделать так, чтобы манипулятор, исследуя окружающую среду, переместился из начальной конфигурации в целевую, обойдя препятствия.

Методы решения указанных задач будут рассмотрены в следующих параграфах.