Примеры решения задач

Задача 1. Расставьте системы координат, связав их со звеньями манипулятора (рис. 1.20) в соответствии с алгоритмом Денавита-Хартенберга. Получите матрицы перехода T_i (i = 1, 2, 3, формула (1.32)) от i-й к (i–1)-й системе координат.

Решение. Сначала нумеруем звенья, затем – сочленения (рис. 1.21). Расставляем оси сочленений. Ось первого сочленения перпендикулярна плоскости экрана. Расставляем точки D_i (i = 0, … , 3). После этого расставляем точки P_i (i = 0, … , 3) и системы координат. Систему координат P₃x₃y₃z₃ расположим так, как показано (рис. 1.19).

Данные, необходимые для вычисления матриц T_i (i = 1,2,3), внесем в табл. 1. Обратим внимание, что величина ₁ равна q₁. Начинающие часто делают ошибку, приравнивая ₁ числу /2. Первое звено движется относительно нулевого, и взаимное расположение звеньев друг относительно друга (рис. 1.21) есть лишь фотоснимок какого-то момента движения. В следующий момент времени расположение звеньев друг относительно друга будет уже иным.

Таблица 1

*

i	i	si	ai	i
1	q1	l1	0	270
2	q2	0	0	90
3	0	q3+l2	0	0

Поясним также, почему ₁ = 270. Ось z₀ поворачивается вокруг оси x₁ на угол ₁ до тех пор, пока z₀ не совместится с z₁. Поворот наблюдают из того положения, когда ось x₁ «упирается» нам в глаз, при этом ось z₀ поворачивают вокруг оси x₁ против часовой стрелки.

Подставим величины _i, s_i, aдующие матрицы:

T₁= , (1.64)

0 < q₁(t) < 2,

T₂= , (1.65)

,

T₃= , (1.66)

l₃– < q₃(t) < l₃.

Задача 2. Решите прямую задачу кинематики для манипулятора (рис. 1.20).

Решение. Для решения прямой задачи кинематики необходимо найти матрицы S₁, S₂, S₃. В соответствии с формулой (1.36) имеем

S₁ = T₁, S₂ = T₁T₂, S₃ = T₁T₂T₃. (1.67)

Произведя перемножения в (1.67), получаем

S₁(q(t)) = , (1.68)

S₂(q(t)) = , (1.69)

S₃(q(t)) =

(1.70)

Положение схвата определяется следующими величинами:

= – (l₂+q₃) cos q₁(t)sin q₂ (t), (1.71)

= – (l₂+q₃) sin q₁(t)sin q₂ (t), (1.72)

= – (l₂+q₃) cos q₂ (t)+l₁. (1.73)

Ориентация схвата вычисляется по любым трем величинам из под-матрицы 33, находящейся в верхнем левом углу матрицы S₃(q(t)), например:

S₃¹¹ = cos q₁ (t) sin q₂ (t), (1.74)

S₃¹³ = – cos q₁(t) sin q₂ (t), (1.75)

S₃²¹ = sin q₁(t) cos q₂ (t). (1.76)

Если мы имеем функции q₁(t), q₂(t), q₃(t), описывающие изменение обобщенных координат, то по формулам (1.71)–(1.76) мы сможем узнать, как изменяются положение и ориентация схвата.

Задача 3. Решите обратную задачу кинематики для манипулятора (рис. 1.20).

Решение. Необходимо по заданному положению и ориентации схвата найти обобщенные координаты q₁, q₂, q₃. В общем случае требуется решить систему из шести уравнений относительно неизвестных q₁, q₂, q₃ при известных левых частях , , , S₃¹¹, S₃¹³, S₃²¹. В нашем случае достаточно решить систему трех уравнений относительно трех неизвестных q₁, q₂, q₃. Решим уравнения (1.71)–(1.73) относительно q₁, q₂, q₃, считая величины , , известными.