Моменты инерции простых и сложных сечений

Задача 5.4.1: Осевой момент инерции сечения относительно оси  равен…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Возможно, допущена ошибка при вычислении осевых моментов инерции составных фигур.

2) Ответ неверный! Возможно, допущена ошибка в формуле для осевого момента прямоугольника относительно центральной оси.

3) Ответ верный.

Осевой момент инерции . В данном случае

4) Ответ неверный! Возможно, допущена ошибка при разделении сечения на простейшие фигуры.

Задача 5.4.2: Поперечное сечение балки составлено из вертикального листа и четырех неравнобоких уголков . Характеристики уголка заданы. Размеры на рисунке даны в мм. Моменты инерции сечения  и  соответственно равны…

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение:

1), 4) Ответ неверный! При определении осевого момента инерции сечения относительно оси x неправильно использованы формулы перехода к параллельным осям.

2) Ответ неверный! При вычислении осевого момента инерции сечения относительно оси y не учтен момент инерции прямоугольного сечения.

3) Ответ верный. При решении задачи воспользуемся формулами перехода к параллельным осям: , , учитывая, что первоначальные оси  и  – центральные. Разбиваем составное сечение на четыре неравнобоких уголка и прямоугольник, которые обозначим индексами 1 и 2 соответственно. Осевой момент инерции сечения относительно оси x определяется по формуле . Аналогично составим выражение для определения осевого момента инерции сечения относительно оси y.

Задача 5.4.3: Момент инерции площади фигуры, состоящей из двух кругов, относительно оси x равен…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Площадь круга вычислена неверно.

2) Ответ неверный! При решении не учитывалось, что сечение состоит из двух кругов одинакового диаметра.

3) Ответ верный. При вычислении задачи используем формулу перехода к параллельным осям , где – осевой момент инерции площади фигуры относительно своей  центральной оси ; b – расстояние между осями  и ; А – площадь фигуры. Применительно к данной задаче имеем .

4) Ответ неверный! При вычислении  не учитывалось, что центральная ось круга не совпадает с осью x.

Задача 5.4.4: Момент инерции площади фигуры относительно оси x, проходящей через центр тяжести фигуры, равен …

1) ; 2) ; 3) ; 4)

Решение:

1) Ответ неверный! Совершенно необоснованно применена формула перехода к параллельным осям c межосевым расстоянием .

2) Ответ неверный! По всей видимости, неправильно записана формула момента инерции квадрата относительно оси x.

3) Ответ неверный! По всей видимости, неправильно записана формула момента инерции круга относительно оси x.

4) Ответ верный.

Разбиваем фигуру на квадрат (фигура 1) и круг (фигура 2). Момент инерции всей фигуры равен разности моментов инерции квадрата и круга:

Задача 5.4.5: Поперечное сечение балки составлено из двух швеллеров №20 и листов, прикрепленных с помощью сварки. Характеристики швеллера приведены. Размеры на рисунке даны в мм. Осевой момент инерции сечения относительно главной центральной оси x равен…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! При вычислении осевого момента инерции сечения не учитывался осевой момент инерции прямоугольника относительно его главной центральной оси, параллелельной оси x.

2) Ответ неверный! При вычислении не учитывалось, что в сечении два швеллера и два прямоугольника.

3) Ответ неверный! Допущена ошибка при определении осевого момента инерции прямоугольного сечения относительно оси x.

4) Ответ верный. Разбиваем сложное сечение на ряд простых фигур: два швеллера и два прямоугольника, которые обозначены индексами 1 и 2 соответственно (рис.). Ось x является главной центральной осью сечения. Осевые моменты инерции простых фигур относительно своих главных центральных осей, расположенных параллельно оси x, равны , . Ось x₁ совпадает с осью x. Ось x₂ удалена от оси x на расстоянии  Поэтому при определении момента инерции второй фигуры относительно оси x надо воспользоваться формулой перехода к параллельным осям. Окончательно имеем .

Задача 5.4.6: Момент инерции сечения относительно оси  равен…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Возможно, допущена ошибка в использовании зависимости для вычисления осевого момента инерции при параллельном переносе осей.

2) Ответ неверный! Моменты инерции вырезов подставляются в формулу со знаком «минус».

3) Ответ неверный! Возможно, допущена ошибка в вычислении осевых моментов инерции простейших фигур.

4) Ответ верный.

Для вычисления  используем формулу .

Тема: Моменты инерции простых и сложных сечений Момент инерции правильного шестиугольника с размером стороны а относительно оси x равен …

Решение: Разделим шестиугольник на прямоугольник со сторонами а и   и четыре треугольника ( смотри рисунок). Тогда   где   – основание и высота прямоугольника,   – основание и высота треугольника. Подставляя значения   в формулу, получаем 

Тема: Моменты инерции простых и сложных сечений Момент инерции равнобедренного треугольника относительно оси x, проходящей через центр тяжести параллельно основанию, равен …

Решение: Момент инерции определяем по формуле для треугольника  где    Подставляя значения b и h в формулу, получаем 

Тема: Моменты инерции простых и сложных сечений Моменты инерции фигур относительно оси x определяются по формулам варианта …

			III
			II
			IV
			I

Решение: Моменты инерции фигур относительно осей x определяются по формулам варианта III.

Тема: Моменты инерции простых и сложных сечений Размеры фигуры даны в мм. Момент инерции относительно оси x равен ___ мм⁴.

			6666,7
			7777,7
			3555,8
			8999,3

Решение: Момент инерции определяем по формуле для прямоугольника

Тема: Моменты инерции простых и сложных сечений Ось  перемещается из положения x₁ в положение x₂. Момент инерции круга при этом …

			уменьшается на величину
			увеличивается на величину
			уменьшается на величину
			увеличивается на величину

Решение: Формула, связывающая моменты инерции относительно параллельных осей, одна из которых центральная, имеет вид  где а – расстояние между осями, А – площадь фигуры. При перемещении оси  из положения x₁ в положение x₂ момент инерции уменьшается на величину 

223