Сопромат 23605
.pdf
шифр 23605.
Задача № 1.
Для заданной схемы поперечного сечения стержня (балки), состоящей из стандартных прокатных профилей требуется:
1.Определить положение центра тяжести;
2.Найти величины осевых и центробежного моментов инерции относительно случайных осей, проходящих через центр тяжести (Xc;Yc);
3.Определить направление главных центральных осей;
4.Найти величины моментов инерции относительно главных центральных осей;
5.Определить моменты сопротивления и радиусы инерции;
6.Вычертить сечение в масштабе 1:2 и указать на нем все размеры в числах и все оси.
Исходные данные. Двутавр № 20, уголок равнополочный 125×125×10.
Решение.
Выписка из таблиц сортамента:
1)Двутавр № 20: А=23,4 см2; Ix=1290 см4; Iy=82,6 см4.
2)Уголок 125×125×10: А=24,3 см2; Ix=360 см4; Iy=360 см4; Iu min=149 см4; z0=3.45 см Вспомогательные оси проводим вдоль осей симметрии двутавра.
(оси xB, yB).Координаты центра тяжести сечения:
∑ |
( |
) |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
∑
∑
Осевые моменты инерции:
Центробежные моменты инерции:
– для двутавра Ix1y1=0 (есть оси симметрии);
|
|
|
|
|
|
– для уголка |
√( |
) ( |
) |
, |
|
знак минус – в связи с положением уголка в сечении;
– для всего сечения:
( |
) |
( |
) |
Главные моменты инерции сечения:
|
|
|
|
) √( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[( |
|
) |
] |
|
[( |
) √( |
) |
( |
) ] |
|||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положение главных центральных осей сечения:
( )
( )
Угол α отсчитывается от оси x, так как Ix > Iy.
Т. к сечение не симметричное, то моменты сопротивления будут:
Радиус инерции сечения относительно осей:
√∑ √
√∑ |
√ |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
y2 |
Yв |
|
|
|
y1 |
|
|
v |
|
151,6 |
|
|
|
|
|
|
10,5 |
|
|
C2 |
|
|
|
n2 =5,2 |
x2 |
|
|
|
=61,1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
m |
|
|
|
u |
|
|
С |
|
|
|
39,7 |
X |
|
|
|
85,3 |
|
124,5 |
n1 =5,3 |
=63,4 |
153,4 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
m |
|
|
|
С1 |
х1 |
|
|
|
|
|
|
|
Xв |
|
|
|
180 |
|
|
|
90 |
|
|
Размеры указаны в милиметрах. |
|
Задача № 2.
Стальной стержень находится под действием силы F и собственного веса. Необходимо построить эпюры нормальных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений стержня относительно закрепления. Показать в задании определение нормальных сил, напряжений и перемещений в характерных сечениях.
Модуль продольной упругости для стали принять равным Е=2×1011 Па, удельный вес γ=78 кН/м3.
Исходные данные. F=2 кН; A=2 см2; a=20 м; b=19 м; c=13 м.
Решение.
Разбиваем стержень на участки.
Нормальные силы на границах участков:
По полученным значениям строим эпюру.
Нормальные напряжения на границах участков:
По полученным значениям строим эпюру.
Изменение длины участков стержня:
Абсолютное изменение длины стержня:
Перемещения в сечениях:
a
b
c
|
|
. |
|
|
|
N, кН |
|
|
, мм |
|
|
, МПа |
|
|
|
|
3,1 |
7,75 |
0 |
2A |
|
|
|
|
|
|
|
12,5 |
0,078 |
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
2,2 |
11 |
1,098 |
F |
0,2 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1,131 |
|
|
|
||
G |
|
|
|
|
Задача № 5.
Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен внешними моментами в соответствии с заданной схемой. Требуется построить эпюру крутящих моментов и из условия прочности определить диаметр вала, округлив расчетное значение до ближайшего целого нормированного числа. Допускаемое напряжение принять [ ]=80 МПа.
Для принятого диаметра вала построить эпюру углов закручивания поперечных сечений относительно крайнего левого сечения. Определить также наибольший относительный угол закручивания (на 1 пог. м).
Исходные данные. a=2 м; b=1.8 м; c=1 м; T1=1.7 кНм; T2=2,4 кНм; T3=2.3 кНм; T4=1.4 кНм.
Т1 |
|
Т2 |
|
|
Т3 |
Т4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
В заделке возникает момент Т0 .
∑
Для определения крутящих моментов Мк на участках стержня будем рассматривать его левую часть.
По вычисленным значениям Мк строится эпюра.
Преобразуем условие прочности к виду, удобному для определения диаметра стержня.
Условие прочности:
|
|
|
|
|
|
|
[ ] |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||
|
|
|
[ ] |
||||||
Принимаем d=65 мм=0,065 м.
Полярный момент инерции сечения вала.
Определим деформации участков стержня:
Углы поворота характерных сечений (границ участков) равны:
Строим эпюру углов поворота сечений.
Наибольший относительный угол закручивания:
Т0 |
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
Т |
|
|
Т |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мк , кНм |
|
|
1,3 |
|
1,4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
|
-0,4 |
|
|
|
|
|
3,1993 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6128 |
|
|
|
|
2,0851 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
-0,3183
Задача № 6.
Приведены схемы нагрузки статически определимых балок. Требуется:
1.Определить опорные реакции и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Для каждого участка балки необходимо записать предварительно уравнения определяемых величин для произвольных сечений.
2.В задаче № 6А из условия прочности подобрать номер профиля стальной балки двутаврового сечения. Вычислить для нее максимальные значения нормального и касательного напряжений. Определить прогибы в характерных точках балки (2-3 точки). По найденным значениям построить изогнутую ось балки.
3.В задаче № 6Б из условия прочности подобрать деревянную балку прямоугольного сечения при отношении высоты сечения к ширине 4:1.
Задача № 6А.
Исходные данные. F=32 кН; q=14 кН/м; M=18 кНм; a=2.8 м; b=2.2 м; c=1,9 м.
M
Q
F
|
|
b |
b |
c |
a |
2 |
2 |
Решение.
Силу, равномерно распределенную вдоль отрезка прямой, заменяем равнодействующей.
( |
) |
( |
) |
Записываем уравнения статики и определяем опорные реакции.
∑
∑
∑
Проверка.
∑
Эпюра поперечных сил.
Эпюра изгибающих моментов.
Подбор номера двутавра.
| |
[ ]
Выбираем двутавр № 45. Для данного двутавра:
- момент сопротивления сечения Wz=1220 см3; -момент инерции Jz=27450 см4;
-статический момент половины сечения Sz=699 см3; -толщина стенки d=8,6 мм.
Максимальное нормальное напряжение:
| |
Максимальное касательное напряжение:
| |