Сопромат 22612
.pdf
Задача № 1.
Для заданной схемы поперечного сечения стержня (балки), состоящей из стандартных прокатных профилей требуется:
1.Определить положение центра тяжести;
2.Найти величины осевых и центробежного моментов инерции относительно случайных осей, проходящих через центр тяжести (Xc;Yc);
3.Определить направление главных центральных осей;
4.Найти величины моментов инерции относительно главных центральных осей;
5.Определить моменты сопротивления и радиусы инерции;
6.Вычертить сечение в масштабе 1:2 и указать на нем все размеры в числах и все оси.
Исходные данные. Швеллер № 18, уголок равнополочный 80×80×6.
Решение.
Выписка из таблиц сортамента:
1)Швеллер № 18: А=20,7 см2; Ix=1090 см4; Iy=86 см4; z0=1.94 см.
2)Уголок 80×80×6: А=9,38 см2; Iy=57 см4; Ix=57 см4; Iu min=23,5 см4; z0=2.19 см
Вкачестве вспомогательных примем оси, проходящие по внешним
сторонам швеллера (оси xB, yB).Координаты центра тяжести сечения:
∑
∑
∑
∑
Осевые моменты инерции:
Центробежные моменты инерции:
– для швеллера Ix1y1=0 (есть оси симметрии);
|
|
|
|
|
|
|
– для уголка |
√( |
) ( |
) |
|
, |
|
знак минус – в связи с положением уголка в сечении; |
|
|||||
– для всего сечения:
( |
) ( |
) |
Главные моменты инерции сечения:
|
|
|
|
) √( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[( |
|
) |
] |
|
[( |
) √( |
) |
( ) ] |
|||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положение главных центральных осей сечения:
( )
Угол α отсчитывается от оси x, так как Ix > Iy.
Т. к сечение не симметричное, то моменты сопротивления будут:
Радиус инерции сечения относительно осей:
√∑ √
√∑ |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
YB |
y1 |
|
|
|
|
|
99,9 |
|
|
|
|
|
|
|
n1 =12,9 |
|
|
180 |
|
86,5 |
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
=9,9 |
|
|
|
|
=22 |
|
|
|
||
|
C1 |
m |
x1 |
u |
||
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
n2 =23,3 |
|
|
|
|
|
m |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19,4 |
|
|
X |
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
58,1 |
21,9 |
x2 |
|
80,1 |
|
|
|
16,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
63,5 |
|
|
|
|
80,1 |
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
XB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Размеры указаны в милиметрах. |
|
|
|
Задача № 2.
Стальной стержень находится под действием силы F и собственного веса. Необходимо построить эпюры нормальных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений стержня относительно закрепления. Показать в задании определение нормальных сил, напряжений и перемещений в характерных сечениях.
Модуль продольной упругости для стали принять равным Е=2×1011 Па, удельный вес γ=78 кН/м3.
Исходные данные. F=1.1 кН; A=2 см2; a=14 м; b=10 м; c=13м.
Решение.
Разбиваем стержень на участки.
Нормальные силы на границах участков:
По полученным значениям строим эпюру.
Нормальные напряжения на границах участков:
По полученным значениям строим эпюру.
Изменение длины участков стержня:
Абсолютное изменение длины стержня:
Перемещения в сечениях:
a
b
c
|
|
|
. |
|
|
N, кН |
, МПа |
|
, мм |
|
1,9 |
|
9,5 |
0 |
A |
|
|
|
|
|
1,7 |
|
|
0,423 |
|
|
|
|
|
F |
0,6 |
3 |
8,5 |
|
|
0,4 |
1 |
|
0,442 |
|
|
|
||
2A |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0,475 |
|
|
|
||
|
GF |
|
|
|
Задача № 5.
Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен внешними моментами в соответствии с заданной схемой. Требуется построить эпюру крутящих моментов и из условия прочности определить диаметр вала, округлив расчетное значение до ближайшего целого нормированного числа. Допускаемое напряжение принять [ ]=80 МПа.
Для принятого диаметра вала построить эпюру углов закручивания поперечных сечений относительно крайнего левого сечения. Определить также наибольший относительный угол закручивания (на 1 пог. м).
Исходные данные. a=1.1 м; b=1.3 м; c=0,9 м; T1=1.4 кНм; T2=1.5 кНм; T3=2.3 кНм; T4=1.1 кНм.
Т |
Т2 |
|
Т4 |
1 |
Т3 |
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
a |
|
Решение. |
|
|
В заделке возникает момент Т0 .
∑
Для определения крутящих моментов Мк на участках стержня будем рассматривать его левую часть.
По вычисленным значениям Мк строится эпюра.
Преобразуем условия прочности и жесткости к виду, удобному для определения диаметра
стержня.
Условие прочности:
|
|
|
|
|
|
|
[ ] |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||
|
|
|
[ ] |
||||||
Принимаем d=50 мм=0,05 м.
Полярный момент инерции сечения вала.
Определим деформации участков стержня:
Углы поворота характерных сечений (границ участков) равны:
Строим эпюру углов поворота сечений.
Наибольший относительный угол закручивания:
Т |
Т1 |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т4 |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т3 |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
a |
|
|
1.2 |
|
Мк , кНм |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
-0.3 |
|
|
|
|
1.1 |
-1.7 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
-1,34 |
|
-2,14 |
-2,58 |
-2,73 |
|
|
Задача № 6.
Приведены схемы нагрузки статически определимых балок. Требуется:
1.Определить опорные реакции и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Для каждого участка балки необходимо записать предварительно уравнения определяемых величин для произвольных сечений.
2.В задаче № 6А из условия прочности подобрать номер профиля стальной балки двутаврового сечения. Вычислить для нее максимальные значения нормального и касательного напряжений. Определить прогибы в характерных точках балки (2-3 точки). По найденным значениям построить изогнутую ось балки.
3.В задаче № 6Б из условия прочности подобрать деревянную балку прямоугольного сечения при отношении высоты сечения к ширине 4:1.
Задача № 6А.
Исходные данные. F=12 кН; q=14 кН/м; M=16 кНм; a=2.4 м; b=2.2 м; c=1 м.
|
M |
|
|
|
|
F |
q |
|
|
|
|
a |
b |
c |
c |
2 |
2 |
Решение.
Силу, равномерно распределенную вдоль отрезка прямой, заменяем равнодействующей.
Записываем уравнения статики и определяем опорные реакции.
∑
∑
( |
|
) |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( |
) |
( |
|
|
) |
( |
) |
( |
|
) |
|
|
|
||||||||||
∑
Проверка.
∑
( )
( )
Эпюра поперечных сил.
Эпюра изгибающих моментов.
( |
) |
( |
) |
( )
( )
( |
) |
|
( |
) |
|
Подбор номера двутавра.
| |
[ ]
Выбираем двутавр № 36. Для данного двутавра:
- момент сопротивления сечения Wz=743 см3; -момент инерции Jz=13380 см4;
-статический момент половины сечения Sz=423 см3; -толщина стенки d=7,5 мм.
Максимальное нормальное напряжение:
| |