9.4. Устойчивость за пределом пропорциональности. Расчет сжатых стержней

Задача 9.4.1: Условия закрепления стержня одинаковы во всех плоскостях, проходящих через его ось. Варианты поперечных сечений, которые имеют одинаковую площадь, показаны на рисунках. Наиболее рациональной, с точки зрения устойчивости, будет форма поперечного сечения, представленная на рисунке…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Форма поперечного сечения не совсем рациональна.

2) Ответ верный. При проектировании поперечных сечений сжатых стержней необходимо, чтобы главные моменты инерции сечения были по возможности одинаковыми. Этому критерию удовлетворяют круглые, квадратные, трубчатые сечения. С экономической точки зрения, наиболее рациональной будет форма поперечного сечения, при которой величина наименьшего радиуса инерции сечения при заданной площади является наибольшей. Этому требованию удовлетворяют трубчатые, коробчатые сечения. Поэтому наиболее рациональной является форма, показанная на рисунке 2).

3) Ответ неверный! С позиции работы на устойчивость сжатых стержней необходимо стремиться к тому, чтобы осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей были  одинаковыми.

4) Ответ неверный! Осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей резко отличаются, т.е. форма сечения не рациональна.

Задача 9.4.2: Стержень длиной  закреплен, как показано на рисунке. Площадь поперечного сечения , минимальный момент инерции поперечного сечения , модуль упругости материала стержня , предел пропорциональности , предел текучести  Значение критической силы для сжатого стержня равно…

; .

1) 2,188 Мн; 2) 2,4 Мн; 3) 3,081 Мн; 4) 2,188 Кн;

Решение:

1) Ответ верный. Определяем значение предельной гибкости стержня Найдем гибкость из уравнения , откуда =61. Определяем гибкость данного стержня , где , п – количество полуволн упругой линии изогнутого стержня. . Из условия, что гибкость данного стержня находится в пределах от 100 до 61, при определении значения критической силы используем формулу Ясинского Мн.

2) Ответ неверный! Данное значение соответствует предельной нагрузке, определенной по формуле .

3) Ответ неверный! При определении критической силы использована формула Эйлера. Необходимо при решении задачи на первом этапе вычислить значение гибкости сжатого стержня. В зависимости от полученного значения гибкости использовать соответствующую формулу при определении критической силы.

4) Ответ неверный! Необходимо провести анализ размерности величин при определении критической силы по формуле Ясинского.

Задача 9.4.3: Длина стержня . Поперечное сечение – квадрат со стороной . Допускаемое напряжение на сжатие . Допускаемое напряжение на устойчивость равно…

1) 100 МПа; 2) 220 МПа; 3) 180 МПа; 4) 160 МПа.

Решение:

1) Ответ неверный! Вероятно, ошибка заключается в неправильном вычислении гибкости стержня.

2) Ответ неверный! Допускаемое значение напряжения на устойчивость находится из формулы . Значение коэффициента понижения основного допускаемого напряжения  не может превышать единицы.

3) Ответ верный. Определяем коэффициент приведения длины для данной схемы закрепления. Производим расчет гибкости . Здесь  – радиус инерции сечения ( ), А – площадь поперечного сечения стержня. .  – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня. . . . По таблице находим коэффициент снижения допускаемого напряжения . Тогда .

4) Ответ неверный! Вероятно, ошибка заключается в неправильном определении величины коэффициента приведения длины и соответственно гибкости стержня.

Задача 9.4.4: Допускаемое напряжение на устойчивость связано с допускаемым напряжением на сжатие зависимостью . Коэффициент пропорциональности  называется …

1) коэффициентом запаса на устойчивость;

2) теоретическим коэффициентом концентрации напряжений;

3) коэффициентом приведения длины;

4) коэффициентом снижения основного допускаемого напряжения.

Решение:

1) Ответ неверный! Коэффициент запаса на устойчивость есть отношение критического напряжения к фактическому напряжению в сжатом стержне.

2) Ответ неверный! Теоретический коэффициент концентрации напряжений – это отношение наибольшего местного напряжения к номинальному напряжению, то есть к напряжению в той же точке, определенному без учета концентрации напряжений.

3) Ответ неверный! Коэффициент приведения длины учитывает условия закрепления стержня.

4) Ответ верный. Для сжатых стержней необходимо выполнить две проверки: – на прочность:  где – на устойчивость:  где Чтобы установить связь между допускаемым напряжением на устойчивость  и допускаемым напряжением на прочность , возьмем их отношение: , или Обозначим , тогда , где  называется коэффициентом снижения основного допускаемого напряжения.

Задача 9.4.5: Материал стержня − сталь 3 (модуль упругости , предел пропорциональности , предел текучести ). Формула Ясинского применима при значениях…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1), 2) Ответ неверный! Известно, что формула Ясинского может использоваться, если для сжимаемого стержня выполняется неравенство . Здесь  – предельное значение гибкости стержня , а определяется из уравнения .

3) Ответ неверный! Данное неравенство регламентирует нижнюю границу применимости формулы Эйлера.

4) Ответ верный. Определяем предельное значение гибкости . Определим гибкость , откуда   Следовательно, формула Ясинского применима при значениях .

Задача 9.4.6: График зависимости критического напряжения от гибкости, когда напряжение в стержне не превышает предела пропорциональности, имеет вид…

1) прямой; 2) квадратной параболы; 3) синусоиды; 4) гиперболы.

Решение:

1) Ответ неверный! Уравнение, которое устанавливает зависимость критического напряжения от гибкости, не является уравнением прямой.

2) Ответ неверный! Необходимо вспомнить уравнение для квадратной параболы .

3) Ответ неверный! Уравнение упругой линии сжатого стержня, шарнирно закрепленного по концам, имеет вид синусоиды. Здесь речь идет о связи критического напряжения и гибкости.

4) Ответ верный. Критическое напряжение  связано с гибкостью стержня  уравнением , где Е – модуль упругости материала. График зависимости  от  имеет вид гиперболы и называется обычно гиперболой Эйлера.

Тема: Устойчивость за пределом пропорциональности. Расчет сжатых стержней на устойчивость Стержень длиной  , диаметром   сжимается силой F. Материал стержня – сталь 3 ( ). Схема закрепления показана на рисунке. Значение основного допускаемого напряжения   Допускаемое значение силы F, которую можно безопасно приложить к стержню, равно ______ кН.

			36,47
			18,24
			54,71
			72,94

Решение: Находим гибкость стержня по формуле   где  ,  . После вычислений  По таблице, зная марку материала и значение гибкости, находим, используя метод линейной интерполяции, значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения  ,  Допускаемое значение силы из расчета на устойчивость определим по формуле   где  После подстановки числовых значений получим 

Тема: Устойчивость за пределом пропорциональности. Расчет сжатых стержней на устойчивость Стержень длиной   сжат через абсолютно жесткий рычаг ВС. Стержень имеет круглое сечение диаметром   и изготовлен из материала сталь 3. Допускаемое напряжение  . Значение силы F (из расчета на устойчивость), которую можно безопасно приложить к конструкции, равно ____ кН.

			302
			151
			216,5
			108,25

Решение: Используя метод сечений (рис. 1), определим продольное усилие в стержне  Стержень работает на сжатие. Найдем допускаемое значение силы для сжатого стержня из расчета на устойчивость. Определим: минимальный радиус инерции сечения  гибкость стержня   (при шарнирном опирании концов стержня  ). По таблице, зная марку материала и значение гибкости, находим коэффициент понижения основного допускаемого напряжения  Определим допускаемое напряжение на устойчивость   а далее – допускаемое значение силы для сжатого стержня из расчета на устойчивость  Учитывая, что продольное усилие в стержне равно   найдем значение силы F, которую можно безопасно приложить к конструкции: 

Тема: Устойчивость за пределом пропорциональности. Расчет сжатых стержней на устойчивость При расчетах сжатых стержней на устойчивость коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения   определяют в зависимости от марки материала и  ________ стержня.

			гибкости
			жесткости
			площади сечения
			длины

Решение: Для каждого материала можно построить график зависимости критического напряжения   от гибкости стержня   Зная значение предельного напряжения   для материала (  − для пластичного материала;   − для хрупкого) и выбрав коэффициенты запаса на прочность   и на устойчивость  , можно составить таблицы или получить аналитические зависимости значений коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения   в функции от гибкости  . Следовательно, коэффициент   определяют по таблицам (формулам) в зависимости от марки материала и гибкости стержня.

Тема: Устойчивость за пределом пропорциональности. Расчет сжатых стержней на устойчивость Стержень длиной   прямоугольного сечения с размерами   сжимается силой F. Материал стержня – сталь 3  ). Схема закрепления показана на рисунке. Значение критической силы для сжатого стержня равно ______ кН.

			246
			284
			312
			214

Решение: В зависимости от гибкости сжатого стержня критическая сила находится по разным формулам. Определим гибкость стержня  Для прямоугольного сечения минимальный радиус инерции найдем по формуле   где  Тогда  Коэффициент  , который учитывает условия опирания стержня, равен двум. После вычислений находим   Формулу Эйлера, для определения критической силы сжатого стержня при заданной марке материала, использовать нельзя   В случае, когда гибкость стержня, для марки стали 3 лежит в пределах   при определении критического напряжения используют формулу Ясинского  Следовательно, значение критической силы 

Тема: Устойчивость за пределом пропорциональности. Расчет сжатых стержней на устойчивость Допускаемое напряжение на устойчивость   и допускаемое напряжение на прочность   связаны отношением  . Коэффициент   называют …

			коэффициентом уменьшения основного допускаемого напряжения
			теоретическим коэффициентом концентрации напряжений
			коэффициентом чувствительности материала к асимметрии цикла
			коэффициентом динамичности системы

Решение: Для оценки работы сжатых стержней необходимо сделать две проверки: на прочность  на устойчивость  Отношение допускаемого напряжения на устойчивость   к допускаемому напряжению       называют коэффициентом уменьшения основного допускаемого напряжения.