5.1. Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры

Задача 5.1.1: Статический момент площади сечения относительно оси x равен…

1) 48а³; 2) 96а³; 3) 144а³; 4) 72а³.

Решение:

1) Ответ неверный! Возможна ошибка в незнании понятия статического момента сечения относительно оси.

2) Ответ неверный! Возможна ошибка в выборе оси координат.

3) Ответ неверный! Возможна ошибка в определении ординаты центра тяжести сечения.

4) Ответ верный. Статический момент площади сечения относительно оси x . В данном случае , где А – площадь сечения,  – ордината центра тяжести сечения.

Задача 5.1.2: Ось, относительно которой статический момент площади сечения равен нулю, называется…

1) осью симметрии; 2) центральной;

3) средней линией контура; 4) нейтральной линией.

Решение:

1) Ответ неверный! Ось симметрии делит сечение на две одинаковые фигуры.

2) Ответ верный. Рассмотрим некоторое поперечное сечение стержня. Свяжем его с системой координат x, y и составим два следующих интеграла: где индекс А у знака интеграла указывает на то, что интегрирование проводится по всей площади сечения стержня. Первый интеграл называется статическим моментом площади сечения относительно оси x, второй – относительно оси y. В зависимости от выбранной системы координат  статические моменты могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной.

3) Ответ неверный! Средняя линия разделяет толщину стенки контура на равные части.

4) Ответ неверный! Геометрическое место точек в поперечном сечении, где нормальные напряжения равны нулю, называется нейтральной линией.

Задача 5.1.3: Статический момент площади сечения относительно оси x равен…

1) ; 2) 0; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Площади вырезов в формулу нужно подставлять со знаком «минус».

2) Ответ неверный! Возможна ошибка в выборе оси координат.

3) Ответ неверный! Возможно, ошибка вызвана незнанием понятия статического момента площади фигуры относительно оси.

4) Ответ верный. Статический момент сечения относительно оси x . В данном случае , где А_i – площади составных фигур,  – ординаты центров тяжести составных фигур. .

Задача 5.1.4: Статический момент площади фигуры относительно оси x определяется интегралом …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ верный.

Разделим площадь А плоской фигуры на элементарные площади dA прямоугольной координатной сеткой (x и y – координаты центра тяжести элементарной площадки). Если каждую элементарную площадь умножить на координату  у   и сложить эти произведения, то получим статический момент площади относительно оси x. Чем мельче координатная сетка, тем точнее результат расчета. Заменяя операцию сложения интегрированием по площади А, получим выражение статического момента площади относительно оси x:  Аналогично определяется статический момент площади относительно оси y. Поскольку под интегралом координата  у  в первой степени, статический момент, в зависимости от выбора системы координат, может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

2) Ответ неверный! Интеграл  – статический момент площади относительно оси y.

3) Ответ неверный! Данный интеграл есть центробежный момент инерции площади сечения относительно осей x и y.

4) Ответ неверный! Данный интеграл называется моментом инерции площади относительно оси x.

Задача 5.1.5: Статический момент площади сечения относительно оси x равен…

1) ; 2) нулю; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Размерность статического момента площади сечения в системе СИ . По данной формуле определяется площадь треугольника.

2) Ответ верный. Центр тяжести треугольника расположен на расстоянии  от основания. Следовательно, ось x проходит через центр тяжести фигуры и является центральной. Относительно центральной оси статический момент площади сечения равен нулю.

3) Ответ неверный! Данное значение соответствует статическому моменту площади сечения относительно оси, совпадающей с основанием треугольника, когда положительное значение оси y направлено вверх.

4) Ответ неверный! Значение соответствует статическому моменту площади сечения относительно оси, проходящей через вершину треугольника параллельно основанию. Положительное направление оси y – вниз.

Тема: Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры При перемещении координатной оси из положения   в положение   статический момент прямоугольника …

			уменьшается в два раза
			увеличивается в два раза
			уменьшается в четыре раза
			увеличивается в полтора раза

Решение: Статический момент относительно оси x есть произведение площади на координату ее центра тяжести по оси y. При перемещении оси из положения   в положение   координата центра тяжести прямоугольника, а значит и его статический момент, уменьшаются в два раза.

Тема: Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры

Координаты центра тяжести трапеции (см. рис.) в заданной системе координат 

Решение: Разобьем сложную фигуру на простые фигуры, площади которых можно вычислить и положения центров тяжести которых известны. В данном случае это прямоугольник и треугольник. Координаты центра тяжести трапеции определим по формулам   где   − статические моменты площади трапеции относительно осей y и x, А – площадь трапеции. Подставляя найденные значения   в формулы для определения   и   получаем

Тема: Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры Статический момент фигуры в заданной системе координат относительно оси x равен …

Решение: Разобьем сложную фигуру на три круга и запишем 

Тема: Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры Сечение состоит из двутавра и швеллера. В системе координат   координаты центра тяжести фигуры 

Решение: Точки C₁ и C₂ – центры тяжести поперечных сечений двутавра и швеллера. Из ГОСТов возьмем геометрические характеристики двутавра №20 и швеллера №10. Положение центра тяжести сечения определим в системе координатных осей x и y. Центр тяжести сечения расположен на оси симметрии ( ). Координату центра тяжести сечения по оси   определяем по формуле  , где  – статический момент фигуры относительно оси x; А – площадь фигуры.

Тема: Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры На рисунке показана система, состоящая из трех фигур. Точки   и  – центры тяжести второй и третьей фигур. Для того чтобы статический момент всей системы относительно оси у обратился в ноль, статический момент первой фигуры должен быть равен …

Решение:  откуда