5.3. Главные оси и главные моменты инерции

Задача 5.3.1: Для сечения известны осевые моменты инерции сечения относительно осей , , : , , . Осевой момент инерции относительно оси  равен…

1) 1000 см²; 2) 2000 см²; 3) 2500 см²; 4) 3000 см².

Решение:

1) Ответ неверный! Осевой момент инерции сечения относительно оси  в новой системе координат не равен осевому моменту инерции сечения относительно оси  в старой системе координат.

2) Ответ неверный! Допущена арифметическая ошибка при вычислениях.

3) Ответ верный. Сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей на некоторый угол остается постоянной, то есть . После подстановки заданных значений получим .

4) Ответ неверный! Необходимо вспомнить теоретические положения об изменении моментов инерции сечения при повороте осей координат на произвольный угол.

Задача 5.3.2: Из указанных центральных осей сечения равнобокого уголка главными являются…

1)х₃; 2) все; 3) х₁; 4) х₂.

Решение:

1), 3) Ответ неверный! Ось х₃ и х₁ не является осями симметрии.

2) Ответ неверный! Осью симметрии является только ось х₂.

4) Ответ верный. Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.

Задача 5.3.3: Главные оси инерции …

1) можно провести только через точки, лежащие на оси симметрии;

2) можно провести только через центр тяжести плоской фигуры;

3) это оси, относительно которых моменты инерции плоской фигуры равны нулю;

4) можно провести через любую точку плоской фигуры.

Решение:

1) Ответ неверный! В курсе сопротивления материалов доказывается, что через любую точку плоской фигуры можно провести две взаимно перпендикулярные оси,  которые будут главными осями фигуры для этой точки.

2) Ответ неверный!

На рисунке показан равнобедренный треугольник. Ось х не проходит через центр тяжести сечения. Ось y – ось симметрии, поэтому  Следовательно оси x, y являются главными осями фигуры.

3) Ответ неверный! Момент инерции площади относительно любой оси есть величина положительная и не равная нулю.

4) Ответ верный.

На рисунке показана произвольная плоская фигура. Через точку С проведены две взаимно перпендикулярные оси U и V. В курсе сопротивления материалов доказывается, что если эти оси поворачивать, то можно определить такое их положение, при котором центробежный момент инерции площади обращается в ноль, а моменты инерции относительно этих осей принимают экстремальные значения. Такие оси называются главными осями. Две взаимно перпендикулярные оси, обладающие такими свойствами, можно провести через любую точку плоской фигуры.

Задача 5.3.4: Из указанных центральных осей главными осями сечения являются…

1) все; 2) и ; 3) и ; 4) и .

Решение:

1) Ответ верный. Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.

2), 3), 4) Ответ неверный! Другие оси тоже являются осями симметрии.

Задача 5.3.5: Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются…

1) центральными осями; 2) осями симметрии;

3) главными центральными осями; 4) главными осями.

Решение:

1) Ответ неверный! Центральными называются оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения.

2) Ответ неверный! Ось симметрии делит сечение на два одинаковых сечения.

3) Ответ неверный! Главные оси, если они являются центральными, называются главными центральными осями.

4) Ответ верный. При повороте осей координат моменты инерции сечения меняются. Пусть заданы моменты инерции сечения относительно координатных осей x, y. Тогда моменты инерции сечения в системе координатных осей , , повернутых на некоторый угол относительно осей , , равны , , . При некотором значении угла  центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения. Данные оси называются главными осями.

Задача 5.3.6: Момент инерции сечения относительно главной центральной оси  равен…

1) ; 2) ; 3) ; 4)

Решение:

1) Ответ неверный! Моменты инерции вырезов при вычислениях нужно подставлять со знаком «минус».

2) Ответ верный.

Для вычисления  используем формулу .

3) Ответ неверный! Возможно, допущена ошибка в использовании зависимости для вычисления осевого момента инерции при переходе к параллельной оси.

4) Ответ неверный! Возможно, допущена ошибка в вычислении осевых моментов инерции простейших фигур.

Тема: Главные оси и главные моменты инерции Число главных центральных осей для равностороннего треугольника …

			бесконечно велико
			равно двум
			равно трем
			равно четырем

Решение: Если фигура имеет три и более осей симметрии, то любая ось, проходящая через ее центр тяжести, является главной центральной осью и моменты инерции относительно этих осей равны. Доказательство этого положения приводится в книге В. И. Феодосьева «Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов», задача 38.

Тема: Главные оси и главные моменты инерции Главные центральные моменты инерции фигуры, состоящей из двух швеллеров №10, равны: 

			348; 258,5
			232; 155
			482; 368,7
			183,3; 128

Решение: Из таблицы ГОСТов берем характеристики швеллера №10:  Фигура имеет две оси симметрии x, y. На пересечении этих осей расположен центр тяжести фигуры, а оси симметрии являются главными центральными осями. Разделим фигуру на два швеллера. Оси x₁, x₂, y₁, y₂ являются главными центральными осями швеллеров. Тогда можно записать Подставляя числовые значения, получаем

Тема: Главные оси и главные моменты инерции Моменты инерции треугольника относительно осей x и y, проходящих через центр тяжести поперечного сечения, параллельно катетам: Положение главных центральных осей определяется углом   а главные центральные моменты инерции равны 

Решение: Положение главных центральных осей определяем по формуле  Подставляя числовые значения, получаем  Так как   откладываем его от положительного направления оси x против часовой стрелки. Главные центральные моменты инерции определяем по формуле После подстановки числовых значений имеем Из расположения площади треугольника относительно осей u и v следует, что   а 

Тема: Главные оси и главные моменты инерции На рисунке показан равнобедренный треугольник. Моменты инерции относительно главных осей, проходящих через точку К, равны: 

Решение: Центробежный момент инерции фигуры относительно главных осей равен нулю. Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является главной центральной осью. Любая ось, перпендикулярная ей, является главной осью сечения. Такими осями для точки К являются оси x и y (рис. 1). Для вычисления момента инерции относительно оси y используем формулу для момента инерции треугольника относительно основания (рис. 2). Для определения момента инерции относительно оси x разделим треугольник на два прямоугольных треугольника и к каждому из них применим формулу для момента инерции относительно основания.

Тема: Главные оси и главные моменты инерции Главными центральными осями называются …

			главные оси, проходящие через центр тяжести фигуры
			оси, в системе которых касательные напряжения равны нулю
			главные оси деформированного состояния
			главные оси, одна из которых является центральной

Решение: Оси, относительно которых центробежный момент инерции фигуры равен нулю, называются главными осями. Если эти оси, проходят через центр тяжести, то они называются главными центральными осями.