Расчет простейших статически неопределимых систем

Задача 8.4.1: Стержень круглого сечения диаметром  работает на деформацию кручение. Модуль сдвига материала , размер , значение  заданы. Наибольшее касательное напряжение равно…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Допущена ошибка при определении коэффициента .

2) Ответ неверный! Допущена ошибка при определении коэффициента .

3) Ответ неверный! Напоминаем, что полярный момент сопротивления при кручении стержня с круглым сечением определяется по формуле

4) Ответ верный. При решении задачи используем метод сил. Отбросим дополнительную связь, например, в опоре А. Действие отброшенной связи заменим неизвестным моментом . Составим каноническое уравнение метода сил . Коэффициенты канонического уравнения найдем используя интеграл Мора, который вычислим по способу Верещагина. Построим эпюры крутящих моментов от единичного момента и от заданных внешних. Далее эти эпюры используем для определения коэффициентов  и . , Из канонического уравнения получим Построим суммарную эпюру крутящих моментов. Наибольшее касательное напряжение при кручении стержня с круглым поперечным сечением определяется по формуле Следовательно, для данной схемы нагружения .

Задача 8.4.2: Если , , величина момента в заделке А равна …

1) ; 2) 0; 3) ; 4) .

Решение:

1), 3) Ответ неверный! Вероятно, допущена ошибка в построении эпюр моментов.

2) Ответ неверный! Вероятно, неправильно найден коэффициент . Не следует брать площадь всей грузовой эпюры и умножать на ординату единичной над ее центром тяжести. Грузовая эпюра расположена на двух участках длиной l, каждый из них перемножается отдельно.

4) Ответ верный. Система один раз статически неопределима. «Отбрасываем» одну связь (превращаем заделку в шарнирно-неподвижную опору), прикладываем вместо отброшенной связи момент  и составляем каноническое уравнение метода сил.    − искомый момент в заделке А. Для определения коэффициентов канонических уравнений строим единичную  и грузовую  эпюры: Знак «-» означает, что момент  направлен по часовой стрелке.

Задача 8.4.3: Стержень нагружен силой F. Модуль упругости материала Е, площадь поперечного сечения А, размер  известны. Наибольшее нормальное напряжение равно…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Данное значение соответствует минимальному напряжению в стержне по абсолютной величине.

2) Ответ верный. Выбираем основную систему метода сил. Отбросим, например, дополнительную связь в опоре С и заменим ее действие неизвестной силой . Составим каноническое уравнение . При определении коэффициентов канонического уравнения используем интеграл Мора, который вычислим по способу Верещагина, предварительно построив эпюры продольных сил от единичной нагрузки и заданной внешней. Построим суммарную эпюру продольных сил. Наибольшее нормальное напряжение равно

3) Ответ неверный! При определении коэффициента  допущена ошибка при определении длины стержня.

4) Ответ неверный! Допущена ошибка при определении коэффициента .

Задача 8.4.4: Для балки, представленной на рисунке, реакция опоры В равна…

1) ; 2) ; 3) 0; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Допущена ошибка при вычислении коэффициента канонического уравнения . Его нужно вычислять «перемножением» грузовой эпюры  и единичной  по правилу Верещагина. При этом более удобно брать площадь грузовой и умножать на ординату единичной эпюры, находящейся на расстоянии  от заделки А.

2) Ответ верный. Выбираем основную систему метода сил, отбрасываем дополнительную связь (опору В) и заменяем ее действие реакцией . Записываем каноническое уравнение  откуда Определяем коэффициенты канонического уравнения метода сил.

3) Ответ неверный! Вероятно, допущена ошибка при «перемножении» единичной и грузовой эпюры. Нужно помнить, что по правилу Верещагина функции перемножают по отдельным участкам, на которых они однозначно определены. В данном случае эпюра от нагрузки задается на 2-х участках длиной l и 2l. Причем на последнем она равна нулю.

4) Ответ неверный! Допущена ошибка при вычислении коэффициента канонического уравнения . Коэффициент определяется «перемножением» эпюры  саму на себя по правилу Верещагина. Нужно определить ее площадь  и умножить на ординату (2L), проходящую через ее центр тяжести.

Задача 8.4.5: Если , реакция опоры С для представленной плоской рамы равна …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Видимо, ошибка связана с неправильным расчетом . Этот коэффициент находится «умножением» грузовой эпюры  на единичную эпюру . Для этого определяется площадь грузовой эпюры  и ордината над ее центром тяжести на единичной эпюре . Знак «-» ставится потому, что эпюры расположены по разные стороны от оси.

2) Ответ неверный! Ошибка связана с неправильным расчетом коэффициента . Следует помнить, что при перемножении эпюр, расположенных по разные стороны от оси, знак произведения будет «−».

3) Ответ верный.

Для нахождения неизвестной реакции  выбираем основную систему метода сил удалением опоры С и записываем каноническое уравнение.  откуда Для расчета коэффициентов канонических уравнений строим единичную и грузовые эпюры.

4) Ответ неверный! Видимо, допущена ошибка при вычислении коэффициента канонического уравнения .

Задача 8.4.6: Поперечное сечение плоской рамы − квадрат. Модуль упругости материала Е, значение силы F, размер b заданы. Наибольшее нормальное напряжение в раме равно… (Влиянием продольной силы пренебречь)

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! При вычислении наибольшего нормального напряжения вместо  подставлено  значение .

2) Ответ верный. Система один раз статически неопределима. Выбираем основную систему, отбрасывая шарнирно-подвижную опору. Действие удаленной связи заменяем неизвестной силой . Составим каноническое уравнение: . Пренебрегая сдвигом и растяжением стержней, определим коэффициенты канонического уравнения, которые представляют перемещения в рассматриваемой системе. При определении перемещений используем интеграл Мора, который вычислим по способу Верещагина. Построим эпюры изгибающих моментов от единичной силы  и заданной внешней нагрузки. Используя правила перемножения эпюр, находим: , Из канонического уравнения получим Построим суммарную эпюру изгибающих моментов, рассматривая силу  как внешнюю заданную нагрузку. При определении наибольших нормальных напряжений не учитываем влияние продольной силы в стойке рамы. Тогда

3) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении положения опасного сечения. Наибольшие нормальные напряжения в раме возникают в сечении, где действует наибольший изгибающий момент.

4) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении момента сопротивления квадратного сечения. Необходимо вспомнить, что для квадратного сечения  где b – сторона квадрата.

Тема: Расчет простейших статически неопределимых систем Статически неопределимая ферма нагружена силой F. Модуль упругости  материала Е, площадь поперечного сечения А, длина l всех стержней одинаковы. Усилия N₁, N₂, N₃ в стержнях фермы, соответственно, равны …

Решение: Ферма один раз статически неопределима. Воспользуемся при решении задачи методом сил. Получим основную систему, разрезая стержень 3 (рис. 1а). Действие отброшенной связи заменяем неизвестной силой   (рис. 1б). Каноническое уравнение имеет вид Элементы фермы работают на растяжение. Коэффициенты   и   будут определяться продольными силами, возникающими в стержнях. Прикладываем к основной системе единичную силу   (рис. 2а). Из условий равновесия узла определим продольные усилия в стержнях (рис. 2б). Тогда   Далее учитывая, что коэффициент   вычислим его значение Найдем продольные усилия в стержнях основной системы от внешней нагрузки. Прикладываем к основной системе силу F (рис. 3а) и, рассматривая равновесие узла (рис. 3б), определим  Коэффициент   вычислим, используя формулу  Тогда  Решая каноническое уравнение, получим  Знак «плюс» показывает, что третий стержень работает на растяжение. Для определения продольных усилий в стержнях 1 и 2 составим расчетную схему (рис. 4а). К основной системе прикладываем внешнюю силу F и силу   которую рассматриваем как заданную внешнюю силу. Из условия равновесия узла (рис. 4б) определим Следовательно, продольные усилия в стержнях имеют значения

Тема: Расчет простейших статически неопределимых систем Стержень нагружен моментами М. Модуль сдвига материала G, диаметр стержня d, размер l заданы. Эпюра крутящих моментов показана на рисунке …

			1
			3
			2
			4

Решение: Используем свойства симметрии и кососимметрии при раскрытии статической неопределимости систем. В геометрическом отношении стержень симметричен относительно плоскости симметрии I–I. Внешняя нагрузка относительно плоскости симметрии расположена симметрично. В симметричной системе в плоскости симметрии при симметричной нагрузке кососимметричные силовые факторы равны нулю. Крутящий момент кососимметричный силовой фактор. Поэтому на среднем участке крутящий момент равен нулю. Эпюра крутящих моментов показана на рисунке 1.

Тема: Расчет простейших статически неопределимых систем Стержень нагружен силой F. Модуль упругости материала Е, размер l заданы. Площадь поперечного сечения на левом участке 2А, на правом – А. Значение наибольшего нормального напряжения в стержне по, абсолютной величине равно …

Решение: Система один раз статически неопределима. Выберем основную систему, удаляя левую опору. Эквивалентная система показана на рисунке. Каноническое уравнение имеет вид  Определим коэффициенты канонического уравнения. Построим эпюру продольной силы от единичной нагрузки   и эпюру от заданной силы F. Величина   определяется перемножением единичной эпюры самой на себя, при этом учитывается, что жесткость поперечного сечения на участках разная Перемножая эпюру N на единичную эпюру  , определим величину  : где знак «минус» показывает, что площадь эпюры N и ордината на единичной эпюре   расположены на разных сторонах от оси эпюр. Решая уравнение, находим  Построим суммарную эпюру продольных сил. Нормальное напряжение при деформации растяжение (сжатие) стержня определяется по формуле  Следовательно, нормальные напряжения на обоих участках одинаковы по абсолютной величине и принимают значение   но отличаются знаками.

Тема: Расчет простейших статически неопределимых систем Стержень нагружен внешними силами F. Модуль упругости материала Е, площадь поперечного сечения А, размер l заданы. Эпюра продольных сил показана на рисунке …

			4
			2
			1
			3

Решение: В геометрическом отношении стержень симметричен относительно плоскости симметрии I–I. Внешняя нагрузка относительно плоскости симметрии расположена кососимметрично. В симметричной системе в плоскости симметрии при кососимметричной нагрузке симметричные силовые факторы равны нулю. Продольная сила – симметричный силовой фактор. Следовательно, на среднем участке продольная сила равна нулю. Эпюра продольных сил, при данном варианте нагружения стержня показана на рисунке 4.

Тема: Расчет простейших статически неопределимых систем В середине пролета к балке прямоугольного сечения высотой h прикреплен стержень ВС с жесткостью поперечного сечения на растяжение ЕА. Жесткость поперечного сечения балки на изгиб EJ по длине постоянна (J – осевой момент инерции сечения). Линейный размер l задан. Максимальное нормальное напряжение в балке равно …  Принять 

Решение: Система один раз статически неопределима. При решении задачи воспользуемся методом сил. Разрезая стержень ВС, получим основную систему (рис. 1а). Эквивалентная система показана на рис. 1б. Каноническое уравнение имеет вид При вычислении коэффициента   необходимо учесть, влияние не только изгибающих моментов в балке, но и продольной силы в стержне ВС. Прикладываем к основной системе единичную силу   (рис. 2а). Строим эпюру изгибающих моментов   для балки и эпюру продольной силы   (рис. 2б) для стержня ВС. Перемножая эпюру изгибающих моментов   саму на себя по способу Верещагина и, аналогично, эпюру  , найдем Далее к основной системе прикладываем силу F (рис. 3а). Строим эпюру изгибающих моментов от заданной силы (рис. 3б). Перемножая эпюры М и  , найдем значение коэффициента  Учитывая, что  , определим  Рассматривая силу   как внешнюю заданную нагрузку (рис. 4а), построим суммарную эпюру изгибающих моментов для балки (рис. 4б). Максимальное нормальное напряжение в балке определим по формуле тогда