6. Плоский прямой изгиб

6.1. Поперечная сила, изгибающий момент и их эпюры

Задача 6.1.1: Поперечная сила Q_y в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций на ось…

1) y всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения;

2) x всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения;

3) y всех внешних сил, действующих на стержень;

4) y всех внешних и внутренних сил, действующих на стержень.

Решение:

1) Ответ верный.

Поперечная сила Q_y в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций на ось y всех внешних сил (в том числе и реакций внешних связей), расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

2) Ответ неверный! Допущена ошибка в понимании терминов «поперечная сила» и «продольная сила».  Продольная сила N в произвольном поперечном сечении стержня равна алгебраической сумме проекций на ось x стержня всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. Поперечная сила Q_y равна алгебраической сумме проекций на ось y всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

3) Ответ неверный! Допущена ошибка в применении метода сечений. Метод сечений заключается в следующем. В пределах рассматриваемого участка, проводят сечение, перпендикулярное к оси стержня. Одну часть стержня отбрасывают. Действие отброшенной части на оставшуюся заменяют внутренними силовыми факторами, одним из которых является поперечная сила. Поперечную силу прикладывают таким образом, чтобы она вращала рассматриваемую часть относительной внутренней точки этой части по часовой стрелке. В этом случае поперечная сила считается положительной. Затем составляют уравнение равновесия для оставленной части. Следовательно, поперечная сила равна алгебраической сумме проекций на ось y всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

4) Ответ неверный! Допущена ошибка в применении метода сечений. Внутренние силы, или силы взаимодействия между частицами тела, всегда входят попарно, отличаясь друг от друга знаками. Поэтому геометрическая сумма всех внутренних сил в теле равна нулю. Следовательно, алгебраические суммы проекций внутренних сил на какую-либо ось также равны нулю.

Задача 6.1.2: Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Эпюра изгибающих моментов имеет вид…

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение:

1), 2) Ответ неверный! Допущена ошибка в построении эпюры изгибающих моментов. При данном виде нагружения балки эпюра изгибающих моментов будет изменяться по закону квадратной параболы.

3) Ответ верный. При данном виде нагружения эпюра изгибающих моментов изменяется по закону квадратной параболы. В середине эпюры будет максимум. Эпюра в зависимости от того, на сжатом или растянутом слое балки она строится, будет иметь вид показанный на рисунке 3).

4) Ответ неверный! Допущена ошибка в построении эпюры изгибающих моментов. Построена эпюра для случая нагружения балки в середине пролета сосредоточенной силой.

Задача 6.1.3: Эпюра изгибающих моментов имеет вид…

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Допущена ошибка в построении эпюры изгибающих моментов. Такой вид эпюра имеет для случая нагружения балки равномерно распределенной нагрузкой.

2), 3) Ответ неверный! Допущена ошибка в построении эпюры изгибающих моментов. На рисунке представлена эпюра поперечных сил.

4) Ответ верный. При данном виде нагружения в пределах каждого участка эпюра изгибающих моментов изменяется по линейному закону. В точке приложения сосредоточенной силы должно быть изменение угла наклона эпюры (излом). Эпюра будет иметь вид, представленный на рисунке 4) в зависимости от того, на сжатом или растянутом слое она построена.

Задача 6.1.4: Балка нагружена распределенной нагрузкой, меняющейся по закону . Поперечная сила по длине балки изменяется по закону …

1) синуса; 2) косинуса; 3) прямой, параллельной оси балки;4) прямой, наклонной к оси балки.

Решение:

1) Ответ неверный! Допущена ошибка при использовании дифференциальных зависимостей при поперечном изгибе. Необходимо вспомнить, что интеграл от синуса будет равен минус косинус.

2) Ответ верный. Воспользуемся дифференциальными зависимостями при плоском поперечном изгибе Используя зависимость между    и q, составим выражение для определения поперечной силы , учитывая, что распределенная нагрузка направлена вниз: , или где С – постоянная интегрирования, которая определяется из условий опирания балки. Из полученного выражения следует, что поперечная сила по длине балки изменяется по закону косинуса.

3) Ответ неверный! Поперечная сила изменяется по закону прямой, параллельной оси балки, в случае, когда на участке нет распределенной нагрузки.

4) Ответ неверный! Из дифференциальных зависимостей при плоском поперечном изгибе известно, что поперечная сила меняется по линейному закону тогда, когда на участке балки действует равномерно распределенная нагрузка.

Задача 6.1.5: Правило знаков для поперечной силы Q_y и изгибающего момента М_z изображено на рисунке…

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение:

1), 4) Ответ неверный! Не выполняется закон о равенстве действия и противодействия. Допущена ошибка в правиле знаков при применении метода сечений. Поперечную силу прикладывают таким образом, чтобы она вращала рассматриваемую часть по часовой стрелке. Она считается положительной, если вектор образует правую систему координат с вектором внешней нормали к сечению. Изгибающий момент считают положительным, если сжатый слой находится сверху (вогнутость балки направлена вверх).

2) Ответ неверный! Допущена ошибка в понимании терминов «поперечная сила» и «продольная сила».  Продольная сила N в произвольном поперечном сечении стержня равна алгебраической сумме проекций на продольную ось стержня всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. Поперечная сила Q_y равна алгебраической сумме проекций на поперечную ось y всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. Для изгибающих моментов не выполняется закон о равенстве действия и противодействия. Изгибающий момент считают положительным, если сжатый слой находится сверху (вогнутость балки направлена вверх).

3) Ответ верный. Поперечную силу прикладывают таким образом, чтобы она вращала рассматриваемую часть по часовой стрелке. Поперечная сила считается положительной, если вектор образует правую систему координат с вектором внешней нормали к сечению. Изгибающий момент считают положительным, если сжатый слой находится сверху (вогнутость балки направлена вверх). Кроме того, должен выполняться закон о равенстве действия и противодействия.

Задача 6.1.6: Пусть ось z направлена вдоль оси стержня. Оси x и y – главные центральные оси поперечного сечения. Для распределенной нагрузки q, поперечной силы Q_y и изгибающего момента M_x выполняется(-ются) следующая(-ие) зависимость(-ти)…

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ верный. Между указанными величинами существуют дифференциальные зависимости , согласно которым поперечная сила представляет собой производную от изгибающего момента по координате z, а производная по z от поперечной силы есть интенсивность внешней распределенной нагрузки q.

2) Ответ неверный! Допущена ошибка в нахождении производной. Производные берутся не по времени, а по координате z, направленной вдоль оси стержня.

3), 4) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении зависимостей между q, Q_y и M_x. Поперечная сила представляет собой производную от изгибающего момента по координате z, а производная по z от поперечной силы дает интенсивность внешней распределенной нагрузки.

Тема: Поперечная сила, изгибающий момент и их эпюры Однопролетная балка ВС длиной   нагружена силой   и равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Максимальные значения изгибающего момента и поперечной силы по абсолютной величине соответственно равны …

Решение: Заменяем действие отброшенных на балку связей реакциями:  Используя уравнения статики, найдем:  Балка имеет два участка. Для определения внутренних силовых факторов на каждом участке воспользуемся методом сечений. Рассекаем балку на левом участке произвольным сечением 1–1 и отбросим правую часть. Рассмотрим равновесие левой оставшейся части. Действие отброшенной правой части заменяем на левую поперечной силой   и изгибающим моментом   (Напоминаем, что при плоском поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М).  Переменная z отсчитывается от крайнего левого сечения и изменяется в пределах  . Из уравнений равновесия получим  Следовательно, поперечная сила по длине первого участка постоянна, а изгибающий момент меняется по линейному закону. Вычислим значения   в начале и в конце участка    Затем рассекаем балку произвольным сечением 2–2 в пределах второго участка и рассмотрим равновесие правой части.  Переменная z отсчитывается от крайнего правого сечения и меняется в пределах  Из условий равновесия правой части найдем Поперечная сила по длине второго участка меняется по линейному закону, а изгибающий момент по закону квадратной параболы. Найдем значения   и   в начале и конце участка: Из полученных значений для   следует, что в некотором сечении второго участка поперечная сила   Положение данного сечения ( координату z) определим из уравнения  , отсюда  Выражение для изгибающего момента содержит переменную во второй степени. Поэтому исследуем функцию   на аналитический экстремум Следовательно, в сечении   (в данном сечении поперечная сила равна нулю) изгибающий момент принимает экстремальное значение  Сравнивая полученные значения поперечных сил и изгибающих моментов, делаем вывод, что 

.

Тема: Поперечная сила, изгибающий момент и их эпюры Однопролетная балка ВС длиной   нагружена силой F и моментом М. Поперечная сила в сечении I–I будет равна нулю, если значение М равно …

Решение: Отбросим связи, наложенные на балку, и их действие заменим реакциями  Рассекаем балку произвольным сечением на левом участке на две части. Отбросим правую часть. Длина левой части изменяется в пределах    Действие отброшенной части на оставшуюся заменяем внутренними силовыми факторами: поперечной силой   и изгибающим моментом  Из уравнения равновесия следует  Сечение I–I   принадлежит левому участку. Поэтому поперечная сила в сечении I–I будет равна нулю, когда   Учитывая это условие , составим сумму моментов всех сил, действующих на балку, относительно точки С  отсюда 

Тема: Поперечная сила, изгибающий момент и их эпюры Консольная балка длиной   нагружена силами   и   Сечение I–I расположено бесконечно близко в заделке. Изгибающий момент в сечении I–I равен нулю, если значение силы   равно …

Решение: Рассекаем балку в сечении I–I на две части. Отбросим левую часть. Действие отброшенной левой части на оставшуюся заменяем поперечной силой Q и изгибающим моментом М. Составим уравнение равновесия для определения изгибающего момента в сечении I–I Из условия, что в данном сечении  , найдем 

Тема: Поперечная сила, изгибающий момент и их эпюры Двухпролетная консольная балка с шарниром нагружена силой   Линейный размер  . Максимальное значение изгибающего момента в балке по абсолютной величине равно … (кНм)

			2
			0,5
			1
			2,5

Решение: Обозначим сечения над опорами и в шарнире буквами А, В, С, D. Отбросим связи, наложенные на балку, а их действие заменим реакциями. Используя уравнения статики, найдем реакции в опорах: На рисунке показаны положительные направления реакций. В сечениях А и С изгибающие моменты равны нулю. Сопоставим значения изгибающих моментов в сечениях B и D по абсолютной величине: Максимальное значение изгибающего момента в балке будет в сечении В и равно 2 кНм.

Тема: Поперечная сила, изгибающий момент и их эпюры Однопролетная консольная балка нагружена силой F. Размер l задан. Значения изгибающего момента и поперечной силы по абсолютной величине в сечении I–I равны …

Решение: Отбросим связи, наложенные на балку, и их действие заменяем реакциями    Используя уравнения статики, найдем:   Балка имеет два участка. Рассекаем балку произвольным сечением на левом участке на две части. Отбрасываем правую часть. Длина левой части изменяется в пределах    Действие отброшенной правой части заменяем на левую внутренними силовыми факторами. При плоском поперечном изгибе в сечении балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М.  Из уравнений статики определяем    Следовательно, поперечная сила по длине левого участка постоянна, а изгибающий момент меняется по линейному закону. Сечение I–I   находится в границах левого участка. Абсолютные значения изгибающего момента и поперечной силы в этом сечении:  .