Определение перемещений с помощью интегралов Мора. Правило Верещагина

Задача 8.1.1: Для представленного на рисунке криволинейного стержня приведены выражения углов поворота сечений В, С, D, Е соответственно. При их определении учтено только влияние изгибающего момента. Укажите неправильный ответ, если .

1) ; 2) ; 3) ;

4) .

Решение:

1) Ответ верный. Балка состоит из двух участков:  – прямолинейный, AD – криволинейный. Для решения задачи используется интеграл Мора ,  – на криволинейном участке. На   , так как линия действия силы совпадает с . Таким образом, этот участок при решении задачи можно не учитывать. Составим выражение изгибающего момента на участке AD.   Для нахождения  необходимо приложить единичный момент в сечении В и составить выражение  для участков АВ и BD соответственно. На АВ: ; на BD: . Таким образом,  или . Для нахождения  в формуле  достаточно изменить пределы интегрирования, поскольку  на участке АС.  Для нахождения  в формуле  достаточно изменить пределы интегрирования, поскольку  на всем участке АD. . Поскольку для нахождения  необходимо приложить единичный момент в т. Е, то появится еще  на участке , однако М на этом участке равны нулю. В этой связи .

2) Ответ неверный! Вероятно, ошибка связана с неправильным составлением выражений изгибающего момента М для криволинейного и прямолинейного участков.

3) Ответ неверный! Вероятно, неправильно выбраны пределы интегрирования. Проверьте чтобы на грузовом и единичном состояниях угол отсчитывался от одного и того же сечения в одном направлении.

4) Ответ неверный! Вероятно, ошибка связана с неправильным построением функций изгибающих моментов. Нужно составить интеграл Мора для участка АС, так как на остальных участках изгибающий момент в единичном состоянии равен нулю.

Задача 8.1.2: Плоская рама нагружена, как показано на рисунке. Величины М, а, жесткость поперечного сечения на изгиб  заданы. Взаимное удаление сечений А и В равно…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Обратите внимание, что длина горизонтального участка равна .

2) Ответ неверный! При перемножении эпюр ординаты единичной эпюры, расположенные под центром тяжести грузовой, определены неверно.

3) Ответ верный. При вычислении интеграла Мора, воспользуемся способом Верищагина. Построим эпюру изгибающих моментов от внешних сил . В сечении А и В приложим две равные и противоположно направленные единичные силы и построим эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки. Перемножим эпюру  на эпюру , тогда

4) Ответ неверный! При перемножении эпюр необходимо учесть, что площадь грузовой эпюры и ординаты единичной расположены по одну сторону от оси эпюры.

Задача 8.1.3: Жесткость поперечного сечения на изгиб  по длине балки постоянна. Размер  задан. Значение силы F , при которой прогиб концевого сечения В будет f, равно …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! При перемножении эпюр неправильно определена площадь эпюры изгибающих моментов на втором участке.

2) Ответ неверный! Допущена ошибка при определении ординаты единичной эпюры на первом участке.

3) Ответ верный. При определении перемещения сечения В используем интеграл Мора, который вычислим по способу Верещагина. Обозначим участки балки индексами «1» и «2». Построим эпюру изгибающих моментов от внешних сил (эпюра построена на сжатом слое). К концевому сечению балки прикладываем единичную силу и строим эпюру изгибающих моментов от данной силы. Используя способ Верещагина, перемножим эпюры  и : Из условия, что прогиб концевого сечения В равен f , находим значение силы:

4) Ответ неверный! При перемножении эпюр неправильно определена ордината единичной эпюры на втором участке.

Задача 8.1.4: Для балки, изображенной на рисунке, требуется определить абсолютное перемещение сечения А. Выражение … позволит наиболее точно определить данное перемещение.

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

Решение:

1), 4) Ответ неверный! Данное выражение для перемещения  не учитывает вклад изгибающих моментов (М_х) в потенциальную энергию деформации балки. Отсутствует один из интегралов Мора . Однако имеет место M_y. Анализ представленной схемы нагружения применительно к изображенной системе координат позволяет сделать вывод, что изгиба в плоскости xz не происходит, то есть . Таким образом, представленное выражение не позволит получить корректный результат.

2) Ответ верный. Данный случай нагружения соответствует случаю поперечного изгиба. Это означает, что внутренними силовыми факторами, оказывающими влияние на величину потенциальной энергии деформации, будут изгибающий момент (М_х) и поперечная сила (Q_y). Остальные внутренние силовые факторы равны нулю. Представленное выражение учитывает их (М_х; Q_y) совместное влияние и является правильным.

3) Ответ неверный! Несмотря на то, что данное выражение содержит 5 интегралов Мора, формула не учитывает вклад изгибающих моментов М_x в потенциальную энергию деформации. Кроме того, для данной расчетной схемы _{Му=Мz=N=Qx=0.} Таким образом, представленное выражение не позволит получить корректный результат.

Тема: Определение перемещений с помощью интегралов Мора. Правило Верещагина Жесткость поперечного сечения балки на изгиб на левом участке  , на правом –  . При нагружении ступенчатой консольной балки длиной   силой Fзначение максимального прогиба равно … (Влиянием поперечной силы на величину прогиба пренебречь).

Решение: Максимальный прогиб балки будет в сечении, где приложена сила F. Воспользуемся интегралом Мора. Для каждого участка составим выражение изгибающего момента от внешней нагрузки. С этой целью рассекаем балку на каждом участке на две части и отбрасываем правую часть (рис. 1). На левом участке (рис. 1а) изгибающий момент   на правом (рис. 1б) –  К свободному концу балки, где будет максимальный прогиб, прикладываем единичную силу, а внешнюю нагрузку снимаем (рисунок 2). Составим выражения изгибающих моментов от единичной нагрузки на каждом участке. Учитывая, что схемы нагружения подобны, легко записать выражения изгибающих моментов от единичной силы на каждом участке (вместо силы F надо подставит силу   в выражения моментов от внешней нагрузки)    Выражения изгибающих моментов от внешней силы и от единичной нагрузки на каждом участке подставим в интеграл Мора. После вычисления интегралов получим Знак «плюс» показывает, что перемещение сечения направлено по направлению единичной силы.

Тема: Определение перемещений с помощью интегралов Мора. Правило Верещагина Балка прямоугольного сечения с размерами b и 2b нагружена моментом М. Модуль упругости материала Е, длина l заданы. Прогиб концевого сечения балки Спо абсолютной величине, равен …

Решение: Для определения вертикального перемещения сечения С используем интеграл Мора. Рассекаем балку произвольным сечением на две части. Отбросим правую часть. Составим выражение изгибающего момента в произвольном сечении от внешней нагрузки. В том сечении, где необходимо определить перемещение, прикладываем к балке единичную силу, а внешнюю нагрузку снимаем. Балку рассекаем на две части и отбрасываем правую часть. Составим выражение изгибающего момента в произвольном сечении от единичной силы. Полученные выражения   и   подставим в интеграл Мора:  где  После вычисления интеграла найдем Знак «минус» показывает, что сечение С перемещается не по направлению единичной силы, а в противоположном направлении – вверх.

Тема: Определение перемещений с помощью интегралов Мора. Правило Верещагина Однопролетная балка длиной l нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Жесткость поперечного сечения на изгиб   по длине постоянна. Угол поворота сечения А равен … (Влиянием поперечной силы при определении угла поворота пренебречь).

Решение: При решении задачи воспользуемся интегралом Мора. Используя уравнения статики, определим реакции  опор (рис. 1а). Рассекаем балку произвольным сечением на две части и отбросим, например, правую часть. Действие отброшенной части заменяем внутренними силовыми факторами: поперечной силой   и изгибающим моментом  . Составим выражение для определения изгибающего момента в произвольном сечении от внешней нагрузки  Выражение для поперечной силы не составляем по условию задачи. К сечению А, где необходимо определить угол поворота, прикладываем момент, равный единице, а внешнюю нагрузку отбрасываем (рисунок 2а). Из уравнений статики найдем реакции опор от единичной нагрузки (рис. 2б). Произвольным сечением рассекаем балку на две части и отбрасываем также правую часть. Составим выражение для определения изгибающего момента в произвольном сечении от единичной нагрузки  Выражения изгибающих моментов   и   подставим в интеграл Мора. После вычисления интеграла получим  Знак «плюс» показывает, что сечение А поворачивается по направлению единичного момента.

Тема: Определение перемещений с помощью интегралов Мора. Правило Верещагина Однопролетная двухконсольная балка нагружена силой и моментом. Жесткость поперечного сечения на изгиб   по длине постоянна. Линейный размер lзадан. Прогиб сечения С от внешней нагрузки по абсолютной величине равен… (Влиянием поперечной силы на величину перемещения пренебречь).

Решение: Балка состоит из прямолинейных участков с постоянной жесткостью. Для определении прогиба сечения С используем интеграл Мора, который целесообразно вычислить по способу Верещагина. Построим эпюру изгибающих моментов от внешней нагрузки (рис. 1б). Эпюра построена на сжатом слое. К сечению С, прогиб которого определяем, прикладываем единичную силу  , а внешнюю нагрузку снимаем (рис. 1в). Строим эпюру изгибающих моментов от единичной силы. Используя технику перемножения эпюр, находим Знак «минус» показывает, что сечение С перемещается в направлении, противоположном направлению единичной силы – вверх.

Тема: Определение перемещений с помощью интегралов Мора. Правило Верещагина Консольная балка длиной 2l нагружена внешними силами. Жесткость поперечного сечения на изгиб   по длине постоянна. Прогиб концевого сечения достигнет величины   когда значение силы F равно … (Влиянием поперечной силы на величину прогиба пренебречь).

Решение: При определении прогиба концевого сечения используем интеграл Мора, который вычислим по способу Верещагина. Построим, используя метод сечений, эпюру изгибающих моментов от внешней нагрузки (рис. 1б). Эпюра М построена на сжатом слое. К сечению, прогиб которого необходимо определить, прикладываем единичную силу  , а внешнюю нагрузку снимаем (рис. 1в). Построим эпюру изгибающих моментов от единичной силы (рис. 1г). Далее проводим перемножение эпюр. Находим площадь эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки на каждом участке и умножаем на ординату единичной эпюры, расположенную под центром тяжести эпюры моментов от внешних сил. Складывая результаты перемножения, находим  При перемножении эпюр необходимо учитывать, по какую сторону от оси расположены площадь и ордината. Из условия, что прогиб концевого сечения равен  , получим