3.4. Расчет на жесткость при кручении

Задача 3.4.1: Жесткостью поперечного сечения круглого стержня при кручении называется выражение…

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

Решение:

1) Ответ неверный! – жесткость поперечного сечения на растяжение  сжатие.

2) Ответ верный.

Относительный угол закручивания стержня круглого поперечного сечения определяется по формуле  Чем меньше , тем больше жесткость стержня. Поэтому произведение называется жесткостью поперечного сечения стержня на кручение.

3) Ответ неверный! – жесткость поперечного сечения на сдвиг.

4) Ответ неверный! – жесткость поперечного сечения на изгиб.

Задача 3.4.2: Стержень круглого сечения диаметром d нагружен, как показано на рисунке. Максимальное значение относительного угла закручивания равно…

Модуль сдвига материала G, значение момента М, длина l заданы.

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ верный. Построим эпюру крутящих моментов. При решении задачи воспользуемся формулой для определения относительного угла закручивания стержня с круглым поперечным сечением . Учитывая, что жесткость поперечного сечения стержня  по длине постоянна, получим .

2) Ответ неверный! Относительный угол закручивания – это угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Поэтому относительный угол закручивания не определяется в виде алгебраической суммы относительных углов поворота сечений.

3) Ответ неверный! Выражение определяет относительный угол поворота крайних сечений на среднем участке.

4) Ответ неверный! Данный ответ соответствует относительному углу поворота крайних сечений на участке, где крутящий момент имеет значение М.

Задача 3.4.3: Из условия жесткости при заданных значениях  и G, наименьший допускаемый диаметр вала равен… При решении принять .

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ верный. Так как вал постоянного диаметра, условие жесткости имеет вид , где . Тогда .

2), 3), 4) Ответ неверный! Возможные ошибки. Неправильно определены крутящие моменты в сечениях грузовых участков. Неправильно вычислен полярный момент инерции поперечного сечения. Неправильно записано условие жесткости.

Задача 3.4.4: Стержень круглого сечения диаметром d нагружен, как показано на рисунке. Модуль сдвига материала G, длина l, значение момента М заданы. Взаимный угол поворота крайних сечений равен…

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) нулю; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! При решении задачи необходимо учесть, что крутящие моменты на участках имеют разные направления.

2) Ответ неверный! Направление пары сил, приложенной в среднем сечении стержня, противоположно направлению пар сил, приложенных в торцевых сечениях. В противном случае система не находится в состоянии равновесия.

3) Ответ верный. Обозначим сечения, где приложены внешние пары сил B, C, D соответственно, и построим эпюру крутящих моментов. Угол поворота сечения D относительно сечения B может быть выражен как алгебраическая сумма взаимных углов поворота сечения С относительно сечения B и сечения D относительно сечения С, т.е. Взаимный угол поворота двух сечений для стержня с круглым сечением определяется по формуле Применительно к данной задаче имеем

4) Ответ неверный! Данное значение соответствует углу поворота среднего сечения относительно крайнего левого или правого.

Задача 3.4.5: Условие жесткости при кручении стержня круглого поперечного сечения, с неизменным по длине диаметром имеет вид…

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1), 2) Ответ неверный! Вы не знаете условие жесткости.

3) Ответ неверный! Слева, в условии жесткости, должна стоять формула для максимального относительного угла закручивания.

4) Ответ верный. Валы машин и механизмов должны быть не только прочными, но и достаточно жесткими. В расчетах на жесткость ограничивается величина максимального относительного угла закручивания, которая определяется по формуле Поэтому условие жесткости для вала (стержня, испытывающего деформацию кручения) с неизменным диаметром по длине имеет вид где  – допускаемый относительный угол закручивания.

Задача 3.4.6: Схема нагружения стержня показана на рисунке. Длина L, жесткость поперечного сечения стержня на кручение ,  – допускаемый угол поворота сечения С  заданы. Из расчета на жесткость максимально допустимое значение параметра внешней нагрузки М равно …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Обратите внимание, что крутящие моменты на грузовых участках имеют одинаковые знаки.

2) Ответ верный.

Условие жесткости в данном случае имеет вид , где  – действительный угол поворота поперечного сечения С. Строим эпюру крутящего момента (см. рисунок). Определяем действительный угол  поворота сечения С. Подставляем выражение действительного угла поворота в условие жесткости.  откуда

3) Ответ неверный! Не учтено влияние крутящего момента на одном из участков.

4) Ответ неверный! По всей видимости, неверно определены крутящие моменты на грузовых участках.

Тема: Расчет на жесткость при кручении На рисунке показан опасный участок вала, работающий на кручение при значениях:      По результатам проверочных расчетов на жесткость и прочность можно сказать, что …

			жесткость и прочность вала не обеспечены
			прочность обеспечена, а жесткость не обеспечена
			прочность и жесткость вала обеспечены
			жесткость обеспечена, а прочность не обеспечена

Решение: Условие жесткости имеет вид  где  Определяем относительный угол закручивания на данном участке вала. Условие прочности имеет вид   где  Определяем максимальное касательное напряжение Сравнивая   с   и   с  , делаем заключение, что жесткость и прочность вала не обеспечены. В этом случае параметры системы   следует изменить таким образом, чтобы условия жесткости и прочности выполнялись.

Тема: Расчет на жесткость при кручении На рисунке показан стержень, скручиваемый тремя моментами. Величины   (допустимый взаимный угол поворота концевых сечений стержня) известны. Из расчета на жесткость максимально допустимое значение L равно …

Решение: Определяем взаимный угол поворота концевых сечений Условие жесткости имеет вид откуда 

Тема: Расчет на жесткость при кручении На рисунке показан стержень, работающий на кручение. Величины   (допускаемый угол поворота сечения С) заданы. Максимально допустимое значение момента М равно …

Решение: Определяем угол поворота сечения С Условие жесткости имеет вид   откуда 

Тема: Расчет на жесткость при кручении Стержень скручивается двумя моментами (см. рисунок).        Из расчетов на прочность и жесткость максимально допустимая величина момента М равна ____ 

			0,0013
			0,0098
			0,0056
			0,0008

Решение: Запишем условие прочности для стержня   откуда  Составим условие жесткости  откуда  Таким образом, максимально допустимое значение 

Тема: Расчет на жесткость при кручении На рисунке показан вал, скручиваемый моментами   Величины   и   известны. Если   − допустимый угол закручивания, то максимальное касательное напряжение в поперечном сечении вала равно …

Решение: Максимальный относительный угол закручивания имеет место на правом грузовом участке. Из условия жесткости   определяем максимально допустимое значение М Максимальное касательное напряжение при этом действует в поперечном сечении правого грузового участка

Задача 4.1.1: Совокупность напряжений, возникающих на множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называют …

1) напряженным состоянием в точке;

2) полным напряжением;

3) нормальным напряжением;

4) касательным напряжением.

Решение:

1) Ответ верный. Напряженное состояние в точке полностью определяется шестью компонентами тензора напряжений: σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_yz, τ_zx. Зная эти компоненты, можно определить напряжения на любой площадке, проходящей через данную точку. Совокупность напряжений, действующих по множеству площадок (сечений), проходящих через данную точку, называется напряженным состоянием в точке.

2) Ответ неверный! Незнание определения полного напряжения в точке (сила, приходящаяся на единицу площади сечения).

3) Ответ неверный! Напомним, что проекция вектора полного напряжения на нормаль к сечению называется нормальным напряжением.

4) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении термина «касательное напряжение». Проекция вектора полного напряжения на ось, лежащую в плоскости сечения, называется касательным напряжением.

Задача 4.1.2: Площадки в исследуемой точке напряженного тела, на которых касательные напряжения равны нулю, называют …

1) ориентированными; 2) главными площадками;

3) октаэдрическими; 4) секущими.

Решение:

1) Ответ неверный! Термин не соответствует заданному условию. Под ориентированными понимаются площадки, которые проходят через точку по заранее заданному направлению.

2) Ответ верный.

При повороте элементарного объема 1 можно отыскать такую его пространственную ориентацию 2, при которой касательные напряжения на его гранях исчезнут и останутся только нормальные напряжения (некоторые из них могут быть равными нулю). Площадки (грани), на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками.

3) Ответ неверный! Термин не соответствует заданному условию. Октаэдрическими называют площадки равнонаклоненные к главным. Касательные напряжения на октаэдрических площадках не равны нулю.

4) Ответ неверный! Напоминаем, что под секущими понимают площадки проведенные через точку, в которой исследуется напряженное состояние.

Задача 4.1.3: Главные напряжения для напряженного состояния, показанного на рисунке, равны… (Значения напряжений указаны в МПа).

1)σ₁=150 МПа, σ₂=50 МПа; 2) σ₁=0 МПа, σ₂=50 МПа, σ₃=150 МПа;

3) σ₁=150 МПа, σ₂=50 МПа, σ₃=0 МПа;

4) σ₁=100 МПа, σ₂=100 МПа, σ₃=0 МПа;

Решение:

1) Ответ неверный! Не указано значение главного напряжения σ₃=0 МПа.

2) Ответ неверный! Обозначения главных напряжений не соответствуют правилу нумерации.

3) Ответ верный. Одна грань элемента свободна от касательных напряжений. Поэтому это главная площадка, а нормальное напряжение (главное напряжение) на этой площадке также равно нулю. Для определения двух других значений главных напряжений воспользуемся формулой , где положительные направления напряжений показаны на рисунке. Для приведенного примера имеем , , . После преобразований найдем   В соответствии с правилом нумерации главных напряжений имеем , , , т.е. плоское напряженное состояние.

4) Ответ неверный! Это не главные напряжения, а заданные значения нормальных напряжений, действующие на выделенный элемент.

Задача 4.1.4: В исследуемой точке напряженного тела на трех главных площадках определены значения нормальных напряжений:      Главные напряжения в этом случае равны...

1)σ₁=150 МПа, σ₂=50 МПа, σ₃=-100 МПа;

2) σ₁=150 МПа, σ₂=-100 МПа, σ₃=50 МПа;

3) σ₁=50 МПа, σ₂=-100 МПа, σ₃=150 МПа;

4) σ₁=-100 МПа, σ₂=50 МПа, σ₃=150 МПа;

Решение:

1) Ответ верный. Главным напряжениям присваивают индексы 1, 2, 3 так, чтобы выполнялось условие . Следовательно,    

2), 3), 4) Ответ неверный! Главным напряжениям присваивают индексы 1, 2, 3 так, чтобы выполнялось условие  (в алгебраическом смысле).

Задача 4.1.5: На гранях элементарного объема (см. рисунок) определены значения  напряжений в МПа. Угол между положительным направлением оси x и внешней нормалью к главной площадке, на которой действует минимальное главное напряжение, равен …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1), 2), 4) Ответ неверный! По всей видимости, неправильно записана формула для определения угла. Правильная запись:

3) Ответ верный.

Угол  определяется по формуле Подставляя числовые значения напряжений, получаем  Поскольку угол отрицательный, откладываем угол по часовой стрелке.

Задача 4.1.6: Значения главных напряжений определяют из решения кубического уравнения  Коэффициенты , , называют…

1) инвариантами напряженного состояния; 2) упругими постоянными;

3) направляющими косинусами нормали;

4) коэффициентами пропорциональности.

Решение:

1) Ответ верный. Корни уравнения – главные напряжения − определяются характером напряженного состояния в точке и не зависят от выбора исходной системы координат. Следовательно, при повороте системы осей координат коэффициенты должны оставаться неизменными. Они называются инвариантами напряженного состояния.

2) Ответ неверный! Ошибка в определении термина. Упругие постоянные характеризуют свойства материала.

3) Ответ неверный! Напомним, что направляющие косинусы – это косинусы углов, которые образует нормаль с осями координат.

4) Ответ неверный! Термин не соответствует условию вопроса

Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения Через любую точку напряженного тела можно провести, как правило, _____________ взаимно перпендикулярные площадки (-ок), на которых касательные напряжения будут равны нулю.

			три
			две
			четыре
			шесть

Решение: На рисунке показано тело, нагруженное внешними силами, и элементарный объем с напряжениями на его гранях. При мысленном повороте элементарного объема можно отыскать такую  его пространственную ориентацию, при которой касательные напряжения на  гранях будут равны нулю. Эти грани и будут главными площадками.

Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения Главными осями напряженного состояния называются …

			три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых касательные напряжения на гранях элементарного объема равны нулю
			оси, совпадающие с ребрами элементарного объема
			оси, совпадающие с векторами напряжений
			три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых нормальные напряжения на гранях элементарного объема равны нулю

Решение: На рисунке показан элементарный объем, выделенный в окрестности произвольной точки нагруженного тела. Если при данной ориентации элементарного объема касательные напряжения на его гранях равны нулю, то оси x, y, z называются главными осями напряженного состояния. При переходе от одной точки к другой направления главных осей в общем случае изменяются.

Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются …

			главными напряжениями
			экстремальными напряжениями
			октаэдрическими напряжениями
			инвариантами напряженного состояния

Решение: Три взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями. Максимальное из трех главных напряжений является одновременно наибольшим полным напряжением, действующим по множеству площадок, проходящих через данную точку. Минимальное из трех главных напряжений является наименьшим из множества полных напряжений.

Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения Напряженное состояние элементарного объема, показанное на рисунке, − плоское. Верхняя грань элементарного объема является главной площадкой. Положение двух других главных площадок определяется углом 

			45
			90
			60
			30

Решение: На рисунке показан элементарный объем (вид сверху). Направление нормали к главной площадке определим по формуле   где   − угол между положительным направлением оси x и нормалью к одной из главных площадок. Для нашего случая     Подставляя эти значения в формулу, получаем   откуда   а 

Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения На рисунке показан стержень, растянутый силами F, и элементарный объем выделенный гранями, параллельными плоскостям стержня. При повороте элементарного объема вокруг оси «u» на угол, равный 45⁰, напряженное состояние …

			не изменится
			становится плоским
			становится объемным
			становится плоским (чистый сдвиг)

Решение: На рисунке элементарный объем выделен главными площадками. Главные напряжения:   Напряженное состояние – линейное. Вид напряженного состояния не зависит от пространственной ориентации элементарного объема и при любом угле поворота остается линейным.