6.4. Перемещения при изгибе. Расчет балок на жесткость

Задача 6.4.1: Прогиб на свободном конце балки . Угол поворота поперечного сечения над опорой  равен…

1) 24 минутам; 2) 0 минут; 3) 12 минутам; 4) 7 минутам.

Решение:

1) Ответ верный.

На участке АС изгибающий момент равен нулю. Прогибы изменяются по линейному закону. Поэтому .

2) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении допускаемых наложенными связями перемещений. Шарнирно-неподвижная опора запрещает линейные перемещения в сечении и разрешает поворот. При данных условиях закрепления и нагружения балки прогиб сечения А будет равен нулю. Угол поворота сечения А нулю не равен.

3), 4) Ответ неверный! На участке АС изгибающий момент равен нулю. Прогибы изменяются по линейному закону. Поэтому .

Задача 6.4.2: Консольная балка на участке АВ нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Жесткость поперечного сечения стержня на изгиб EI_z всей длине постоянна. Угол поворота сечения B, по абсолютной величине равен…

1) ; 2) 0; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении угла поворота. Для определения угла поворота в cечении В необходимо прикладывать единичную пару, а не единичную силу. Кроме того, конечный результат имеет размерность длины, а не угла.

2) Ответ неверный! При данных условиях закрепления и нагружения балки угол поворота сечения В нулю не равен.

3) Ответ верный.

Построим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок . Затем построим эпюру от единичной пары, приложенной в сечении В. Определим угол поворота сечения В. Для этого перемножим эпюры от заданных нагрузок и единичного момента. На левом участке такое произведение равно 0. На правом участке обе эпюры линейные. Если взять площадь с единичной эпюры, получим: . Знак «минус» показывает, что сечение В поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента.

4) Ответ неверный! Допущена ошибка в перемножении эпюр. Неправильно определена площадь грузовой эпюры.

Задача 6.4.3: В поперечном сечении I-I …

1) нет перемещений; 2) будет поворот сечения;

3) будет прогиб; 4) будет прогиб и поворот сечения.

Решение:

1), 3), 4) Ответ неверный! При данных условиях закрепления балки линейное перемещение сечения I-I будет равно нулю. Шарнирно-неподвижная опора запрещает линейное перемещение этого сечения, но разрешает угловое перемещение.

2) Ответ верный. При данных условиях закрепления прогиб сечения I-I балки будет равен нулю, так как шарнирно-неподвижная опора запрещает линейные перемещения сечения. Для рассматриваемого сечения возможен только поворот. Правильный ответ – угол поворота поперечного сечения.

Задача 6.4.4: Стальная балка имеет два варианта расположения квадратного поперечного сечения. В первом случае она нагружается параллельно стороне квадрата. Во втором – в диагональной плоскости. Отношение прогибов  равно…

1) ; 2) 0; 3) ; 4) 1.

Решение:

1) Ответ неверный! Прогиб в обоих положенияx будет одинаковым, так как моменты инерции площади для указанных вариантов расположения поперечного сечения равны.

2) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении прогибов. Прогибы будут равны , . Моменты инерции

3) Ответ неверный! Прогиб в обоих положенияx будет одинаковым, так как осевые моменты инерции поперечного сечения для указанных вариантов расположения поперечных сечений равны.

4) Ответ верный.

Поперечное сечение балки имеет четыре оси симметрии. Поэтому осевые моменты инерции поперечного сечения для любой оси, проходящей через центр тяжести, одинаковы и равны , где а – сторона квадрата. Прогибы балок  и . Отношение прогибов . Таким образом, прогиб в обоих вариантах расположения поперечных сечений будет одинаков.

Задача 6.4.5: Жесткость поперечного сечения балки на изгиб  по длине постоянна. Сила  размер  заданы. Прогиб свободного конца балки равен нулю, когда значение момента М равно …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ верный. Начало координат zy возьмем в заделке. Изгибающий момент в текущем сечении z  равен: . Составим дифференциальное уравнение упругой линии балки: После двукратного интегрирования находим Постоянные интегрирования определим из граничных условий. В данной задаче  и , откуда  Из условия, что прогиб свободного конца балки  равен нулю, найдем

2) Ответ неверный! При данном значении изгибающего момента М прогиб свободного конца балки не будет равен нулю.

3) Ответ неверный! Допущена ошибка при интегрировании дифференциального уравнения.

4) Ответ неверный! Проверьте выражение изгибающего момента для текущего сечения z.

Задача 6.4.6: Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Жесткость поперечного сечения балки  на изгиб по всей длине постоянна и равна EI _z. Прогиб в середине пролета балки длиной l равен…

1) 0; 2) ; 3) ; 4)

Решение:

1) Ответ неверный! Перепутаны понятия угла поворота и прогиба сечения. При данных условиях закрепления и нагружения балки задача будет симметричной. Угол поворота балки в среднем сечении будет равен нулю. Прогиб в данном сечении не равен нулю.

2) Ответ верный.

Так как единичная  эпюра  имеет два симметричных участка (ограничена двумя прямыми), перемножать эпюры от заданных нагрузок и единичной силы сразу на всей длине балки нельзя. Перемножим эпюры на половине длины балки, а результат  удвоим. В результате получаем:

3), 4) Ответ неверный! Допущена ошибка в перемножении эпюр от заданных нагрузок и единичной силы. Неправильно определены площадь и центр тяжести квадратной параболы – грузовой эпюры от распределенной нагрузки. Или неправильно найдена грузовая эпюра от распределенной нагрузки.

Тема: Перемещения при изгибе. Расчет балок на жесткость Консоль длиной l нагружена силой F. Сечение балки прямоугольное с размерами b и h. Модуль упругости материала Е. При увеличении линейных размеров   в два раза значение максимального прогиба …

			уменьшится в 2 раза
			увеличится в 2 раза
			не изменится
			увеличится в 4 раза

Решение: Максимальный прогиб  консольной балке   где  При увеличении линейных размеров в два раза получим  Следовательно, максимальный прогиб уменьшится в два раза.

Тема: Перемещения при изгибе. Расчет балок на жесткость Консольная балка длиной   нагружена силами F. Модуль упругости материала Е, осевой момент инерции сечения   заданы. Прогиб концевого сечения примет значение  , когда значение силы F равно …

Решение: Воспользуемся универсальным уравнением упругой линии балки  где   и   – начальные параметры (прогиб и угол поворота в начале координат);  ,   – значения момента и силы в начале координат. Составим расчетную схему. Начало координат расположим в крайнем левом сечении балки. Из условий равновесия балки найдем  Начало координат совпадает с заделкой. В начале координат прогиб   и угол поворота  =0. Уравнение упругой линии имеет вид  Полагая, что  , определим прогиб свободного конца балки  Знак «минус» показывает, что перемещение направлено вниз. Из условия   получим 

Тема: Перемещения при изгибе. Расчет балок на жесткость Консольная балка длиной   нагружена моментом   Поперечное сечение балки прямоугольник:     Модуль упругости материала   Радиус кривизны балки в сечении I–I равен ___ (м).

			3,6
			6
			5,2
			4,8

Решение: Балка испытывает чистый изгиб. Значение изгибающего момента в любом сечении   Следовательно, балка изгибается по окружности. Для определения радиуса кривизны воспользуемся формулой , откуда  .  – жесткость поперечного сечения балки на изгиб. Осевой момент инерции сечения  . После вычислений найдем 

Тема: Перемещения при изгибе. Расчет балок на жесткость Консоль на половине длины нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности   Модуль упругости материала балки   размер   Прогиб на свободном конце консоли не должен превышать  Из условия жесткости диаметр поперечного сечения d равен ____ (см).

			37,1
			18,5
			42,4
			28,4

Решение: Составим расчетную схему Расположим начало координат в крайнем левом сечении балки и запишем универсальное уравнение упругой линии балки  где   и   – прогиб и угол поворота в начале координат; ,   – значения момента и силы в начале координат. Из условий равновесия балки определим Прогиб и угол поворота в начале координат   Подставим полученные значения в уравнение упругой линии Прогиб свободного конца консоли Знак «минус» показывает, что прогиб направлен вниз. Из условия жесткости   где  получим  После вычислений найдем

Тема: Перемещения при изгибе. Расчет балок на жесткость Однопролетная балка длиной l, высотой h нагружена равномерно распределенной нагрузкой. Радиус кривизны нейтрального слоя балки в середине пролета равен  . Жесткость поперечного сечения на изгиб   по всей длине постоянна. Максимальное нормальное напряжение в балке равно … (Влияние поперечной силы на изменение кривизны не учитывать).

Решение: При изгибе балки кривизна нейтрального слоя связана с изгибающим моментом и жесткостью поперечного сечения на изгиб соотношением  Следовательно, в середине пролета, в котором возникает максимальный изгибающий момент, имеем    Максимальное нормальное напряжение найдем по формуле  Учитывая, что  , получим