5.2. Осевые моменты инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей

Задача 5.2.1: Осевой момент инерции площади сечения относительно оси y равен…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Возможно, допущена ошибка в выборе осей координат.

2) Ответ неверный! Допущена ошибка в использовании формулы для момента инерции круга.

3) Ответ верный. Для круга . В данном случае для полукруга .

4) Ответ неверный! Возможно, незнание понятия осевого момента инерции площади относительно оси.

Задача 5.2.2: Осевой момент инерции площади фигуры относительно оси y определяется интегралом …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Данный интеграл есть момент инерции площади относительно оси x.

2) Ответ неверный! Данный интеграл есть статический момент инерции площади относительно оси x.

3) Ответ верный.

Разделим площадь А плоской фигуры на элементарные площадки dA прямоугольной координатной сеткой (x и y – координаты центра тяжести элементарной площадки). Если каждую элементарную площадку умножить на  и сложить эти произведения, то получим осевой момент площади относительно оси y. Чем мельче координатная сетка, тем точнее результат расчета. Заменяя операцию сложения интегрированием по площади А, получим выражение для осевого момента площади относительно оси y:

 

Аналогично определяется момент инерции относительно оси x.

4) Ответ неверный! Данный интеграл определяет статический момент инерции площади относительно оси y.

Задача 5.2.3: На рисунке размеры поперечного сечения заданы в см. Осевой момент инерции сечения относительно центральной оси x равен…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! При вычислении не учтено, что два прямоугольника с размерами  имеют отрицательную площадь.

2) Ответ неверный! Допущена ошибка при определении осевого момента инерции прямоугольного сечения относительно центральной оси, параллельной основанию.

3) Ответ неверный! Данное значение соответствует осевому моменту инерции прямоугольника 1 относительно центральной оси x.

4) Ответ верный. Дополним поперечное сечение до прямоугольника, который обозначим цифрой 1. Прямоугольнику с отрицательной площадью присвоим цифру 2. Ось  является центральной для прямоугольников 1 и 2. Осевой момент инерции прямоугольного сечения относительно центральной оси, параллельной основанию, определяется по формуле  где b –ширина прямоугольника; h – высота. Поэтому при определении осевого момента инерции сечения необходимо из момента инерции прямоугольника 1 вычесть два момента инерции прямоугольника 2, то есть .

Задача 5.2.4: Если , то значение осевого момента инерции площади относительно оси  равно…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Допущена ошибка в вычислениях.

2) Ответ неверный! Возможна ошибка в вычислении осевого момента инерции треугольника относительно оси x.

3) Ответ неверный! Возможна ошибка в использовании зависимости для вычисления осевого момента инерции при переходе к параллельной оси.

4) Ответ верный. Для вычисления  используем формулу перехода от центральной оси к любой, параллельной ей: .

Задача 5.2.5: Осевой момент инерции сечения относительно оси  равен…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Допущена ошибка при определении площади поперечного сечения.

2) Ответ верный. Для круглого сечения диаметром  осевой момент инерции сечения относительно центральной оси х определяется по формуле . Ось  расположена параллельно центральной. Воспользуемся формулой для определения осевого момента инерции сечения при переходе от центральной оси к нецентральной, расположенной параллельно центральной. , где  – расстояние между осями  и х, А – площадь поперечного сечения. Тогда .

3) Ответ неверный! Данное выражение соответствует осевому моменту инерции сечения относительно центральной оси .

4) Ответ неверный! Ошибка при определении осевого момента инерции сечения относительно центральной оси.

Задача 5.2.6: Осевой момент инерции площади сечения относительно оси y равен…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1), 2), 4) Ответ неверный! Возможна ошибка в незнании понятия осевого момента инерции площади относительно центральной оси параллельной основанию прямоугольника, или незнанием формулы для осевого момента инерции прямоугольника.

3) Ответ верный. Для прямоугольника  – момент инерции площади относительно центральной оси, параллельной основанию: где b – основание, h – высота. В данном случае .

Тема: Осевые моменты инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей На рисунке показана фигура, где   – площадь фигуры, – момент инерции площади фигуры относительно оси и,  – расстояние между осями. Момент инерции площади фигуры относительно оси   проходящей через центр тяжести, равен ____ см⁴.

			1750
			2250
			2050
			1950

Решение: Формула, связывающая моменты инерции относительно параллельных осей, одна из которых центральная, имеет вид  После вычислений получаем 

Тема: Осевые моменты инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей Момент инерции прямоугольника принимает наименьшее значение относительно оси …

Решение: Формула, связывающая моменты инерции площади относительно двух параллельных осей, одна из которых центральная, имеет вид  где   – момент инерции относительно центральной оси,   – момент инерции относительно оси x, параллельной центральной оси, а – расстояние между осями, А – площадь фигуры. Ось   ближе всех расположена к центру тяжести прямоугольника, поэтому момент инерции прямоугольника относительно оси   будет наименьшим.

Тема: Осевые моменты инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей Для сечения, состоящего из двух швеллеров №20, момент инерции относительно оси   равен ___ см⁴.

			1657
			427
			226
			1800

Решение: Используя формулу, связывающую моменты инерции относительно параллельных осей, запишем  Значение   для швеллера №20 взяты из таблицы ГОСТов.

Тема: Осевые моменты инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей Момент инерции площади – величина …

			положительная
			положительная или равна нулю
			положительная или отрицательная
			отрицательная или равна нулю

Решение: Момент инерции площади фигуры относительно оси x есть интеграл вида   где А – площадь фигуры. Координата у входит под знак интеграла в квадрате. Площадь – величина всегда положительная. Поэтому момент инерции относительно любой оси – величина всегда положительная.

Тема: Осевые моменты инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей Момент инерции фигуры относительно оси x, проходящей через центр тяжести, равен …

Решение: Разделим фигуру на прямоугольник   и два треугольных выреза.   – центры тяжестей и центральные оси этих фигур. Используя формулу параллельного переноса, запишем  Подставляя полученные значения в формулу для   получаем