Расчет параметров парной линейной регрессии

Исходные данные		Вспомогательные расчеты
x	y	x2	x ×y	ŷ = f(x)
…
Σ

Система нормальных уравнений для поиска параметров двухфакторной линейной регрессии (y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂) имеет более сложный вид, чем система (10.1):

Σ y = na₀ + a₁ Σx₁ + a₂Σx₂;

Σyx₁= a₀ Σx₁ + a₁ Σx₁² + a₂ Σx₁ x₂; (10.3)

Σyx₂= a₀ Σx₂ + a₁ Σx₁ + a₂ Σx₂²;

Очень похожий вид имеет система нормальных уравнений для расчета параметров квадратической регрессии (y = a₀ + a₁x + a₂x²):

Σy = na₀ + a₁ Σx + a₂Σx²;

Σyx₁ = a₀ Σx + a₁ Σx² + a₂ Σx³; (10.4)

Σyx₂ = a₀ Σx² + a₁ Σx³ + a₂ Σx⁴;

Система (10.4) получается из системы (10.3) и наоборот путем простейшей замены переменных x₁ = x; x₂ = x².

Эти системы также решаются методом определителей.

Вначале находится определитель Δ матрицы коэффициентов при неизвестных, затем столбцы этой матрицы поочередно заменяются столбцом свободных членов системы нормальных уравнений, и рассчитываются еще три соответствующих определителя: Δ₀, Δ₁, Δ₂.

Параметры a₀ , a₁, a₂ рассчитываются по формулам:

a₀= Δ₀/ Δ; a₁ = Δ₁/ Δ; a₂ = Δ₂/ Δ

Подробнее различные сложности, которые возникают при построении уравнений нелинейной и множественной регрессии, мы рассмотрим на следующей лекции.

3. Построение уравнений тренда

Для расчета параметров уравнений тренда также используется метод наименьших квадратов (МНК), но при этом используется особый прием – введение условного обозначения времени. За счет введения условного обозначения времени существенно упрощаются формулы для расчетов параметров уравнений тренда. В теории статистики доказывается, что результат расчета параметров не зависит от изменения начала координат на оси отсчета периодов времени. Это связано с тем, что время изменяется равномерно и в одном направлении. Расчет параметров уравнений регрессии значительно сложнее именно из-за того, что ввести условное обозначение переменной x в данном случае не удается.

При расчете параметров уравнений тренда обычно строится вспомогательная таблица, в которой специально вводят условное обозначение времени.

Условное время вводят таким образом, чтобы Σt = 0. Если число реальных периодов (моментов) времени нечетное, в середине ставится 0, а затем отсчет ведется вправо и влево от нуля (как считают в истории «годы до нашей эры»). Если число периодов четное, то 0 пропускается; при этом отсчет вправо ведется от 1, отсчет влево – от –1.

Пример условного обозначения времени показан в табл. 10.1. Если заменить в ранее приведенных системах нормальных уравнений (10.1) и (10.4) переменную x на переменную t и заменить в полученных системах и на ноль, получим следующие, более простые системы:

n a₀ = Σy;

a₁Σx² = Σxy. (10.5)

Σ y = na₀ + a₂Σt²;

Σyt = a₁ Σt²; (10.6)

Σyt² = a₀ Σt² + a₂ Σt⁴;

Решая системы (10.5) и (10.6), получаем простейшие формулы для расчета параметров соответственно линейного (10.7) и квадратического тренда (10.8).

Таблица 10.2