Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации

x	m
…
Σ

На основе исходных данных вначале подсчитываются средние величины, а затем находятся отклонения от средних. Рекомендуется в расчетах показателей вариации пользоваться формулой средней взвешенной.

Однородная статистическая совокупность – это такая совокупность, для которой различия между индивидуальными значениями признака не очень значительны, т.е. мало отличаются от среднего.

Основной количественной характеристикой степени однородности служит коэффициент вариации.

Обычно считается, что этот коэффициент в однородной статистической совокупности не превышает 33%.

Среди различных показателей вариации особое место принадлежит дисперсии, так как этот показатель обладает специальными свойствами, позволяющими упростить порядок его расчета.

2.Свойства средней арифметической и дисперсии

Показатели средняя арифметическая и дисперсия обладают некоторыми особыми свойствами, которые позволяют в ряде случаев упростить порядок их расчета для статистических совокупностей, обладающих большой численностью, но расчлененных на более малочисленные группы.

Свойства средней арифметической

1. При увеличении или уменьшении всех частот отдельных значений признака в k раз значение средней арифметической не изменяется:

где k – любое натуральное число².

2. Если все индивидуальные значения признака умножить или разделить на некоторое число k, то и среднее значение увеличится или уменьшится в k раз:

3. Средняя суммы или разности двух величин равна сумме или разности их средних:

4. Если значение признака постоянно (т.е. равно некоторой константе С), то и средняя величина равна этой константе:

5. Сумма отклонений значений признака от средней арифметической равна нулю.

Свойства дисперсии

1. Если значение признака постоянно (т.е. равно некоторой константе С), то дисперсия равна нулю.

2. Если все значения признака увеличить или уменьшить на постоянную величину, то дисперсия не изменится:

3. Если все значения признака уменьшить или увеличить в k раз, то дисперсия уменьшится или увеличится в k² раз:

4. Если рассчитать средний квадрат отклонений от любой величины A, которая отличается от средней арифметической, то этот квадрат будет больше, чем дисперсия:

Если A ≠ , то

(Свойство минимальности).

5. Правило сложения дисперсий:

Общая дисперсия статистической совокупности, разделенной на отдельные группы, равна сумме так называемой межгрупповой дисперсии (или дисперсии внутригрупповых средних) и средней из внутригрупповых дисперсий, или:

где – общая дисперсия;

 – межгрупповая дисперсия;

 – внутригрупповая дисперсия в j-той группе;

– средняя из внутригрупповых дисперсий.

Межгрупповая дисперсия рассчитывается следующим образом:

1. предположим, что мы выполнили группировку статистической совокупности, т.е. разделили ее на несколько групп;

2. затем в каждой группе мы вычисляем отдельно средние величины признака , которые называются «внутригрупповые средние»;

3. затем мы рассчитываем общую среднюю для всей совокупности.

Тогда межгрупповая дисперсия находится по формуле:

где – численность j-той группы ( j = 1…k);

– внутригрупповая средняя в j-той группе;

– общая средняя.

Средняя из внутригрупповых дисперсий равна следующей величине:

где – внутригрупповая дисперсия в j-той группе.

Более подробно расчет межгрупповой дисперсии и проверка правила сложения дисперсий изучается на практических занятиях.