1. Система дифференциальных уравнений кинетики реактора с учётом

шести групп запаздывающих нейтронов.

Очевидно, что плотность тепловых нейтронов, полученных в результате замедления в любом микрообъёме активной зоны в любой момент времени всегда равна сумме плотностей тепловых нейтронов, полученных в результате замедления мгновенных и запаздывающих нейтронов.

n(t) = n_м(t) + n_з(t).

Из этой очевидности вытекает и другая: так как производная суммы двух функций одного аргумента равна сумме их производных, то

dn /dt = dn_м /dt + dn_з /dt . (12.1)

На основе этого равенства и построен вывод первого из системы дифференциальных уравнений кинетики реактора - уравнения скорости изменения плотности нейтронов в реакторе.

Примечание. Впредь, говоря о плотности тепловых нейтронов, получаемых в результате замедления мгновенных (или запаздывающих) нейтронов, будем выражаться кратко: “плотность мгновенных (запаздывающих) нейтронов”, оговаривая лишь случаи, когда использование таких кратких выражений приводит к двусмысленному пониманию их.

1. Дифференциальное уравнение скорости изменения плотности нейтронов. Используя один из простейших приёмов математической физики, величину эффективного коэффициента размножения нейтронов в реакторе можно представить как сумму двух слагаемых, каждое из которых словно бы отдельно ответственно за размножение мгновенных и запаздывающих нейтронов:

k_э = k_э - k_э b_э + k_эb_э = k_э (1 - b_э) + k_эb_э = k_эм + k_эз , (12.2)

где k_эм = k_э ( 1 - b_э ) - произведение эффективного коэффициента размножения на эффективную долю выхода мгновенных нейтронов, называемое коэффициентом размножения на мгновенных нейтронах, а

k_эз = k_э b_э - произведение эффективного коэффициента размножения на эффективную долю выхода запаздывающих нейтронов, называемое коэффициентом размножения на запаздывающих нейтронах.

Величина b_э - в обоих случаях - это суммарная эффективная доля выхода запаздывающих нейтронов всех групп (мы рассматриваем приближение с шестью группами запаздывающих нейтронов):

.

Аналогично понятию избыточного коэффициента размножения (dk_э = k_э -1) вводится понятие избыточного коэффициента размножения на мгновенных нейтронах, величина которого будет равна:

dk_эм = k_эм - 1 = k_э (1 - b_э) - 1 = k_э - 1 - k_эb_э = dk_э - k_эb_э » r - b_э , (12.3)

так как при k_э » 1 величина dk_э » r, а k_эb_э » b_э.

Обособленное рассмотрение размножения на мгновенных нейтронах даёт возможность первое слагаемое правой части (12.1) записать сразу, без вывода, используя известное нам элементарное уравнение кинетики реактора, в котором следует произвести лишь формальную замену: вместо dk_э - подставить величину dk_эм » r - b_э, а вместо среднего времени жизни поколения нейтронов - подставить l - время жизни мгновенных нейтронов, то есть

(12.4)

Примечание. Из (12.3), строго говоря, следует, что

dk_эм = dk_э - k_эb_э = k_э [(dk_э / k_э) - b_э] = k_э (r - b_э),

но, как уже не раз отмечалось, величина k_э в практике управления реальными энергетическими реакторами мало когда отличается от единицы более, чем на 0.002, поэтому величина k_э без заметного ущерба для точности может быть принята равной единице.

.Второе слагаемое в правой части (12.1.1) - скорость изменения плотности тепловых нейтронов, полученных в результате замедления запаздывающих нейтронов dn_з /dt. Эта величина находится из простых рассуждений.

Предположим, что реальная концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов i-ой группы в рассматриваемый момент времени равна С_i. Это означает, что в единичном объёме активной зоны будет происходить b-распад этих предшественников со скоростью l_iC_i (где l_i - постоянная b-распада предшественников i-ой группы). Это, в свою очередь, означает, что в этом единичном объёме ежесекундно будут образовываться l_iC_i ядер-излучателей запаздывающих нейтронов этой группы, а, поскольку каждое ядро-излучатель практически без запаздывания испускает один запаздывающий нейтрон, величина l_iC_i является ещё и мгновенным значением скорости образования быстрых запаздывающих нейтронов i-ой группы.

Если бы эти быстрые запаздывающие нейтроны со стопроцентной достоверностью избегали утечки и резонансного захвата при замедлении, то в каждом единичном объёме активной зоны в среднем из них ежесекундно рождалось бы столько же тепловых нейтронов, но если учесть, что из всех их только (р_зj)-ая часть остаётся в активной зоне, то фактически в каждом единичном объёме активной зоны ежесекундно будет рождаться l_iC_i p_зj тепловых нейтронов, получаемых из запаздывающих нейтронов i-ой группы. Общая же скорость генерации тепловых нейтронов из запаздывающих нейтронов всех шести групп будет очевидно равна

(12.5)

где обозначенная малым символом величина c_i(t) = C_i(t) p_зj (12.6)

называется эффективной концентрацией предшественников i-ой группы. Эта величина, введённая в обиход из соображений чистого удобства (компактности записи), имеет смысл некоторой условной эквивалентной концентрации тех же предшественников, из которых ежесекундно получалось бы реальное количество тепловых запаздывающих нейтронов i-ой группы, если бы утечка и резонансный захват замедляющихся нейтронов в реакторе отсутствовали бы.

Таким образом, с учётом выражений (12.5) и (12.4) исходное уравнение для скорости изменения плотности нейтронов в реакторе (12.1) приобретает вид:

(12.7)

Это уравнение является неопределённым, так как, кроме основной неизвестной функции n(t) оно содержит ещё шесть неизвестных функций - временных зависимостей эффективных концентраций предшественников запаздывающих нейтронов всех шести групп. Поэтому для того, чтобы получить конкретное решение, необходимо замкнуть систему, то есть присоединить к (12.7) ещё, как минимум, шесть дифференциальных уравнений, в которых функции с_i(t) фигурировали бы независимым от уравнения (12.7) образом.

12.1.2. Дифференциальные уравнения скоростей изменения эффективных концентраций предшественников запаздывающих нейтронов шести групп. Логический вид этих шести уравнений одинаков:

dC_i/dt = (скорость генерации предшественников i-ой группы) - (скорость их b-распада). (12.8)

Первое слагаемое правой части (12.8) получается из следующих рассуждений. Если n(t) - средняя по объёму активной зоны плотность тепловых нейтронов в некоторый произвольный момент времени t, то через промежуток времени, равный среднему времени жизни поколения мгновенных нейтронов l плотность нейтронов станет равной k_эn(t) (что следует из определения эффективного коэффициента размножения k_э). Эти тепловые нейтроны очередного поколения получены в результате замедления быстрых нейтронов, исходное число которых в единичном объёме активной зоны было равно k_э n /p_з j, то есть рождались эти нейтроны со средней скоростью k_эn / p_зj l в каждом см³ активной зоны за 1 с. Но среди всех этих быстрых нейтронов b_i-ая часть рождались как запаздывающие нейтроны i-ой группы, а поскольку каждый запаздывающий нейтрон i-ой группы испускался одним излучателем, а каждый излучатель получался в результате b-распада одного предшественника i-ой группы, то из этого следует, что скорость генерации предшественников i-ой группы составляет k_эn b_эi / p_зj l ядер/см³ с. Такова величина первого слагаемого правой части логического уравнения (12.8).

Со вторым слагаемым этого уравнения дело обстоит значительно проще: в соответствии с известным законом радиоактивного распада скорость b-распада предшественников i-ой группы определяется только наличной в данный момент времени концентрацией их С_i, то есть равна l_iC_i.

Поэтому искомое дифференциальное уравнение для скорости изменения действительной концентрации предшественников i-ой группы будет:

,

а если, руководствуясь формулой (12.6), перейти к эффективным концентрациям предшественников любой группы, и полагая, что, как и в предыдущем выводе, k_э » 1, то:

(12.9)

Таков общий вид шести дифференциальных уравнений для скоростей изменения эффективных концентраций предшественников запаздывающих нейтронов 6 групп.

Таким образом, полная замкнутая система семи дифференциальных уравнений кинетики реактора с учётом запаздывающих нейтронов имеет вид:

(12.10)

i = 1, 2, ... , 6. (12.11)

3. Решение системы дифференциальных уравнений кинетики. Одинаковый вид всех дифференциальных уравнений кинетики подсказывает, что их решения можно отыскать в форме выражений:

(12.12) и

(12.13)

где n_o и c_io - соответственно величины плотности нейтронов и эффективной концентрации предшественников запаздывающих нейтронов i-ой группы в момент времени t = 0, когда реактор перед сообщением ему реактивности был ещё критичен. Имеющий размерность времени параметр Т назовём периодом реактора (имея в виду почерпнутый из математики термин, где эта величина также называется периодом экспоненциальной функции).

Но, коль скоро эти выражения являются решениями системы уравнений кинетики, то подстановка их самих и их производных:

(12.14)

(12.15)

в исходную систему уравнений должна обратить эти последние в тождества.

В этих выражениях параметр Т имеет физический смысл периода соответствующих экспоненциальных процессов.

Примечание. Впредь ради краткости записи функции n(t) и c_i(t) будем обозначать просто n и c_i.

Подставим вначале (12.15) только в левую часть уравнения (12.11):

, откуда (12.16)

Далее выражения (12.16) и (12.14) подставляются в уравнение (12.10):

Умножив обе части полученного равенства почленно на (l / n), получаем:

(12.17)

Если учесть, что

то, объединив две суммы в правой части (12.17) в одну и приведя выражение под знаком суммы к общему знаменателю, несложно получить:

(12.18)

Уравнение (12.18) по отношению к уравнению (12.10) является характеристическим и называется уравнением обратных часов (УОЧ).

Замечание. Получена, строго говоря, приближённая форма уравнения обратных часов, поскольку в процессе его вывода было принято одно допущение: предполагалось, что величина эффективного коэффициента размножения k_э очень мало отличается от единицы, в связи с чем допускалось, что r » dk_э. Эта натяжка незначительно влияет на точность решения и не меняет качественного характера решения системы дифференциальных уравнений кинетики реактора, но даёт возможность при этом значительно сократить объём математических преобразований при выводе уравнения обратных часов. Если бы мы не прибегали к указанному допущению, в результате более громоздкого вывода можно было бы получить более точное выражение для уравнения обратных часов (сравните):

(12.18а)

Уравнение обратных часов настолько важно и для анализа решений системы дифференциальных уравнений кинетики реактора, и для практической деятельности оператора реакторной установки, что мы временно прервём ход решения дифференциальных уравнений кинетики и остановимся на нём более подробно.