6.3. Волновое уравнение, уравнение критичности реактора и ве­личина вероятности избежания утечки тепловых нейтронов

6.3.1. Волновое уравнение (уравнение Гельмгольца). Волновое урав­нение получается из уравнения баланса тепловых нейтронов (6.2.1), за­писанного для критического реактора (то есть dn/dt = 0), путём подста­новки в него выражений для скоростей генерации (формула (5.4.14)), по­глощения (R_a = _aФ) и утечки тепловых нейтронов (формула (6.2.5)):

k__aФ exp(-B²_т) - _aФ + (1/3_tr) ²Ф = 0,

или, если разделить это выражение почленно на ненулевую величину _a:

(1/3_a_tr) ²Ф + [k_ exp(-B²_т) - 1]Ф = 0, или, с учётом того, что (1/3_a_tr) = L²:

²Ф + [k_ exp(-B²_т) - 1]Ф / L² = 0 (6.3.1)

А теперь оставим на минуту это выражение и вернемся к п.5.4.3, где было получено уравнение пространственной части решения уравнения воз­раста Ферми (см. выражение (5.4.8)):

 ²R/R = - B², или  ²R + B²R = 0, (6.3.2)

где функция координат R была впоследствии найдена:

R = k__aФ/(T_o) (6.3.3)

Подстановка (6.3.3) в (6.3.2) и последующее сокращение на ненуле­вую постоянную величину k__а / T_o приводят к следующему выражению:

 ²Ф + B²Ф = 0 (6.3.4)

В этом выражении В² - постоянная величина (параметр реактора).

Уравнения такого типа среди прочих уравнений математической физи­ки известны как простейшие уравнения волнового типа, поэтому уравнение (6.3.4) называют волновым уравнением критического реактора (или уравнением Гельмгольца).

Его решение для активной зоны конкретных формы и размеров - есть функция Ф(r) распределения плотности потока тепловых нейтронов по ко­ординатам её объёма.

Здесь сразу же уместно задуматься над вопросом: чем вообще может определяться распределение плотности потока тепловых нейтронов в объё­ме активной зоны критического (то есть стационарного) реактора? - Поскольку функция Ф(r) фигурирует в уравнении волнового процесса, зна­чит ли это, что диффузия нейтронов вообще является волновым процессом? Таким, скажем, как процесс колебания гитарной струны, или процесс рас­пространения волн по водной поверхности, или любой физический процесс, формально описываемый тем же волновым уравнением?

Житейский опыт подсказывает, что амплитуда и частота колебаний ги­тарной струны (параметры волнового процесса) определяются длиной и ди­аметром струны (то есть её геометрическими характеристиками), упругими свойствами материала струны и степенью её натяжения (т.е. физическими свойствами колеблющейся среды и условиями организации колебаний).

Аналогично обстоит дело и с распределением Ф(r) в волновом процес­се диффузии тепловых нейтронов в активной зоне: оно тоже определяется и геометрией, и физическими свойствами среды активной зоны реактора, и условиями окружения активной зоны. Но так как в уравнении (6.3.4), кро­ме функции Ф(r), есть лишь один параметр (В²), то именно этот постоян­ный параметр должен отражать и физические (материальные) свойства сре­ды активной зоны, и её геометрические свойства. На этом основании па­раметр реактора (В²) называется и геометрическим параметром (и обозна­чается В_г²), и материальным параметром (В_м²).

В_г² и В_м² - физически различные характеристики: одна определяется только формой и размерами активной зоны, другая - только составом ком­понентов активной зоны реактора. Но они равны только в критическом ре­акторе, поскольку волновое уравнение получено для критического реакто­ра и только для него оно имеет смысл в том простейшем виде, в котором оно было получено.

В некритическом реакторе n(t)  idem, dn/dt  0, и поэ­тому в нестационарном волновом уравнении должно было бы появиться ещё одно слагаемое в правой части, зависящее от времени t.

Возникает закономерный вопрос: о каком волновом процессе может во­обще идти речь в критическом реакторе, который является принципиально­ стационарным, и какое отношение вообще имеет волновое уравнение к ста­ционарному реактору?

- А вот какое: волновое уравнение в форме Гельмгольца (то есть с нулевой правой частью) описывает не волну в движении, а является урав­нением стоячей волны. Это совсем не означает, что тепловые нейтроны в реакторе неподвижно застыли в различных точках активной зоны реактора. Они движутся (да еще как!) в направлении от центра к периферии, по пу­ти к ним добавляются ещё тепловые нейтроны, рождаемые за счёт замедле­ния, часть их поглощается на этом пути, часть диффундирует дальше, но так, что в любом микрообъеме активной зоны в любой момент времени чис­ло тепловых нейтронов - в итоге протекания непрерывно идущих процессов генерации, поглощения и утечки - поддерживается постоянным, так же, как неизменным во времени поддерживается и энергетический спектр тепловых нейтронов.

Итак, стационарное волновое уравнение (уравнение Гельмгольца) яв­ляется дифференциальным уравнением стоячей волны плотности потока теп­ловых нейтронов в активной зоне реактора. Его решение - функция прост­ранственного распределения величины плотности потока тепловых нейтро­нов по объёму активной зоны.

6.3.2. Уравнение критичности реактора. Теперь вернемся к уравне­нию (6.3.1) и сравним его с уравнением (6.3.4). Сразу бросается в гла­за схожесть этих уравнений, хотя и получены они из разных предпосылок: уравнение (6.3.1) - из уравнения баланса тепловых нейтронов в крити­ческом реакторе, а уравнение (6.3.4) - при решении уравнения возраста Ферми тоже для критического реактора. И сразу было отмечено: эта часть решения является пространственной, (т.е. дающей пространственное расп­ределение плотности потока нейтронов любой кинетической энергии в объ­ёме активной зоны). В частности, оно должно быть справедливо и для те­пловых нейтронов. Поэтому неудивительно, что оба эти уравнения внешне схожи: они оба описывают одну и ту же величину Ф(r) для одного и того же объекта - критического реактора, - то есть оба они - являются, по существу, одним и тем же уравнением.

А раз это так, то в обоих уравнениях в сходных членах должны быть равными коэффициенты, то есть:

[k_ exp(-B²_т)-1] / L² = B², откуда следует, что

(6.3.5)

Чтобы понять, что собой представляет это уравнение, вернемся на ми­нуту назад, к условию критичности реактора, которое выражается простым равенством k_э = 1. Но величина эффективного коэффициента размножения:

k_э = k_ p_з p_т,

а с учётом найденного ранее выражения p_з = exp(-B² _т):

k_э = k_ exp(-B² _т) p_т.

Приравнивая величину последнего выражения единице, получаем раз­вернутое условие критичности:

k_ exp(-B²_т) p_т = 1 (6.3.6)

Сравнивая выражения (6.3.5) и (6.3.6), следует сделать выводы:

а) Уравнение (6.3.5) выражает развёрнутое условие критичности ­реактора. Поэтому его и называют уравнением критичности реактора.

б) Из сходства (6.3.5) и (6.3.6) вытекает, что величина вероятнос­ти избежания утечки тепловых нейтронов

p_т = = (1 + B²L²)^-1 (6.3.7)

Уравнение критичности можно записать в ещё более развёрнутом виде:

(6.3.8)

Его вид ясно иллюстрирует взаимосвязь размножающих свойств актив­ной зоны (определяемых величинами , , , , _т и L²) с критическими размерами активной зоны (скрытых в величине параметра реактора В², ко­торый в активной зоне критического реактора является и геометрическим, и материальным).

6.3.3. Вероятность избежания утечки тепловых нейтронов. Получен­ное выражение для величины вероятности избежания утечки тепловых нейт­ронов при диффузии (6.3.7) полностью согласуется как с начальной гипо­тезой о зависимости p_т от геометрии и физических свойств среды актив­ной зоны (от геометрического параметра В² и квадрата длины диф­фузии L²), так и с физическим смыслом длины диффузии: чем больше L, тем прозрачнее среда активной зоны для тепловых нейтронов, и больше толщи­на периферийного слоя активной зоны, из которого рождающиеся тепловые нейтроны могут испытать утечку за её пределы в процессе их диффузии, и тем выше доля утекающих из активной зоны тепловых нейтронов, а поэтому меньше доля остающихся в ней тепловых нейтронов р_т.

Для практика-реакторщика полезно запомнить качест­венную зависимость р_т от температуры активной зоны. Эта зависимость од­нозначна: поскольку длина диффузии L в любых веществах с ростом темпе­ратуры увеличивается (см.п.6.1.5), величина р_т = (1 + В²L²)^-1 с рос­том температуры в активной зоне из любых материалов и при любой её структуре будет уменьшаться.

t^o   T  T_н  _a   L  L²  p_т.

Рис.6.5. Цепочка температурного влияния на величину ве­роятности избежания утечки тепловых нейтронов.

Примечание. В этом смысле температурная зависимость вероятности избежания утечки замедляющихся нейтронов p_з = exp(-B²_т), прослеживае­мая через температурную зависимость возраста тепловых нейтронов в ак­тивной зоне, является хотя и аналогичной, но не столь однозначной, как р_т. В твёрдых веществах возраст тепловых нейтронов с ростом температу­ры уменьшается (за счёт повышения величины энергии сшивки Е_с), а пото­му величина р_з за счёт наличия в активной зоне реактора твёрдых замед­лителей (графита - в уран-графитовом реакторе РБМК) может даже увели­чиваться, если графита в активной зоне настолько больше, чем второго замедлителя (воды), что эффект температурного уменьшения возраста в графите превалирует над эффектом температурного увеличения возраста в воде, отчего средний возраст тепловых нейтронов в активной зоне может с ростом температуры уменьшаться, а величина р_з - увеличиваться. Реак­торам типа ВВЭР эта неоднозначность не свойственна: в них увеличение средней температуры активной зоны приводит к обязательному уменьшению величин и р_з, и р_т.

Так или иначе, однако, стоит взять на заметку, что за счёт изме­нения температуры замедлителя принципиально возможно управлять эффек­тивными размножающими свойствами активной зоны реактора (k_э) через посредство величин р_з и р_т.