Билет 8

1. Понятия их объём. Отношения рода и вида между понятиями. Явные и неявные определения понятий. Примеры (2-3) явных и неявных определений понятий, изучаемых в начальном курсе математики.

Каждое понятие характеризуется термином, содержанием и объемом. Под объемом понятия следует понимать множество объектов, относящихся к этому понятию. Содержанием понятия называется совокупность всех существенных свойств данного понятия. Следует отметить, что чем больше объем понятия, тем меньше его содержание.

Приведем пример: В содержание такого понятия как четырехугольник входят: сумма углов четырехугольника равна 360^о и т.п., а в то же время в объем понятия входит множество таких четырехугольников как трапеция, параллелограмм, ромб и т.д.

Если взять такое понятие как квадрат, то к объему этого понятия можно отнести только четырехугольники, которые являются квадратами, а в содержание этого понятия входят все свойства четырехугольника, параллелограмма и все свойства специфичные для квадрата (S = a², диагонали одновременно равны и перпендикулярны).

Если объемы понятий совпадают, то такие понятия называют тождественными. Пример: равносторонний треугольник и равноугольный треугольник.

*Существенные свойства – это свойства, без которых указанное понятие существовать не может.

Одно понятие может определяться через другое, и в этом случае говорят, что эти понятия находятся в отношении рода-вида. Понятие четырехугольника является родовым по отношению к понятию квадрат, а квадрат есть видовое понятие по отношению к четырехугольнику. Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Но нельзя сказать, что родовое понятие обладает всеми свойствами видового понятия.

Следует отметить, что одно и то же понятие может быть по отношению к одному родовым, а по отношению к другому видовым. Например: параллелограмм – родовое понятие по отношению к квадрату и видовое понятие по отношению к понятию четырехугольник. А также одно и то же понятие может иметь несколько родовых понятий. Например, для квадрата родовыми понятиями могут быть: параллелограмм, ромб, прямоугольник.

Определение – это логическая операция, раскрывающая содержание данного понятия. Определения бывают явные и неявные.

Явные	Неявные
Имеют форму равенства и состоят из двух частей: - определяемое понятие - определяющее понятие: родовое понятие и видовое отличие. Квадрат – это ромб, у которого углы прямые. Квадрат – определяемое понятие. Ромб – определяющее понятие, в котором ромб – это родовое понятие, а прямые углы – видовое отличие.	контекстуальные это такое неявное определение понятия, при котором суть (содержание понятия) раскрывается через рассказ.	остенсивные определение понятия раскрыв ется через показ объектов, принадлежащих объему данного понятия.

Требования к определению понятий:

• В определении должна отсутствовать избыточность, т.е. в определении должно быть указано именно столько существенных свойств определяемого понятия, которых было бы достаточно для распознания объектов, принадлежащих данному объему понятия.

Пример: Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые (достаточно было указать на один прямой угол).

• В определении должен отсутствовать порочный круг, т.е. одно понятие не может определяться через другое, которое в свою очередь определяется через первое.

Пример: Сложение – это когда числа складываются.

• В определении должны быть указаны все свойства, позволяющие однозначно выделять объекты, принадлежащие объему данного понятия.

Пример: Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого два угла острые, а один нет.

Важную роль в курсе математики в начальной школе играют так называемые неявные определения. С помощью этих определений в начальной школе дети получают те или иные представления, знания, умения о математических понятиях. Обычно в начальной школе используют контекстуально-остенсивные определения понятий, используя одновременно рассказ и показ для раскрытия содержания понятия. Пример: углы (Истомина 1 класс), уравнения (Моро 2-3 класс).