Билет №7

1. Различные определений понятия «квадрат». Свойства и признаки квадрата. Определение понятия «квадрат» в начальном курсе обучения математике и алгоритм его использования при распознавании квадратов.

Квадрат – это один из видов геометрических фигур, который подробно изучается в курсе математики в начальной школе.

Если говорить о других геометрических фигурах, таких как угол, отрезок, треугольник, круг, то объем содержания, который рассматривается в начальной школе, достаточно узок. В случае же с квадратом, объем, раскрываемых существенных свойств этого понятия значительно более широк. Учащиеся знакомятся с целым рядом существенных свойств указанного понятия, а именно, что у квадрата:

- все стороны равны,

- все углы равны,

- чему равны периметр и площадь квадрата

- что квадрат – это вид прямоугольника.

Т.к. квадрат – это видовое понятие по отношению к понятиям «четырехугольник», «параллелограмм», «прямоугольник», «ромб», то соответственно квадрату можно давать различные определения в зависимости от родового понятия.

Квадрат – это параллелограмм, у которого соседние стороны равны и угол равен 90⁰.

Квадрат – это прямоугольник, у которого соседние стороны равны.

Квадрат – это ромб, у которого угол равен 90⁰.

Квадрат – это четырехугольник, у которого все стороны равны и угол равен 90⁰.

Признаки квадрата:

1. если в четырехугольнике все стороны равны и каждый угол равен 90⁰, то этот четырехугольник – квадрат.

2. если в ромбе угол равен 90⁰, то этот ромб – квадрат.

3. если в прямоугольнике соседние стороны равны, то этот прямоугольник – квадрат.

Т.к. – это и ромб, и прямоугольник, то он обладает всеми теми свойствами, которые присущи как прямоугольнику, так и ромбу, а т.к. квадрат еще является и параллелограммом, то он обладает и всеми свойствами, присущими параллелограмму.

Основные свойства квадрата:

1. диагонали пересекаются под прямым углом

2. диагонали квадрата равны

3. диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 4 равных прямоугольных треугольника.

4. площадь равна а², где а – длина стороны квадрата

5. периметр равен 4а

6. около квадрата можно описать окружность и вписать окружность в него, причем центры вписанной и описанной окружности совпадут.

Квадрат относится к одному из тех понятий, которому по определенным методикам дается явное определение, т.е. квадрат определяется как прямоугольник, у которого все стороны равны. Данное определение содержит определенный элемент избыточности, но для осознания детьми данного понятия эта избыточность методически обоснована.

Указанное определение лежит в основе распознания объектов, принадлежащих объему понятия квадрат в начальной школе.

Для того, чтобы дети распознали, является ли фигура квадратом, надо чтобы они прежде всего определили является ли фигура прямоугольником. Для этого они должны определить, обладает ли фигура следующими свойствами:

- является ли она четырехугольником

- все ли углы в четырехугольнике прямые

- равны ли в прямоугольнике все стороны между собой

Если все эти условия выполняются, то фигура является квадратом.

Квадрат достаточно часто в курсе математики начальной школы используется в качестве счетного материала на начальном этапе изучения математики. Использование квадрата в таком виде дает возможность создать у ребенка целостное представление о том, что такое квадрат. Является ли фигура квадратом, ребенок определяет визуально.

По мере изучения математики у детей расширяется представление о содержании такого понятия как квадрат. Причем следует отметить, что объем рассматриваемых существенных свойств квадрата зависит от того учебника математики, который используется учителем в начальной школе. Но объем некоторых существенных свойств является одинаковым для всех учебников.

Объем существенных свойств квадрата, которые должны знать все дети независимо от системы, по которой они занимаются, указан в стандартах по математике для начальной школы. Вот некоторые из них:

• это четырехугольник

• в квадрате все стороны равны

• в квадрате все углы прямые

• периметр квадрата

• площадь квадрата (а х а)

В некоторых учебниках еще рассматриваются такие понятия как:

- диагональ квадрата

- ось симметрии квадрата.