Смысл суммы и разности натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Сумма:

Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются

натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Отсюда следует, что сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин которых являются числа а и b.

а+b=m_Е(Y)+m_Е(Z)=m_Е(Y+Z)

Разность:

Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка 2 равна разности мер длин отрезков х и у.

Отсюда следует, что разность натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z, что z+у=х, если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка

у равна b.

а-b=m_Е(Х)-m_Е(Y)=m_Е(Х-Y)

Билет 16

1. Множество целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественный смысл нуля. Определение действий с нулём. Невозможность деления на нуль. Определение деления с остатком на множестве целых не отрицательных чисел, его теоретико-множественны смысл. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих смысл деления с остатком в случае, когда: а) делимое больше делителя, б) делимое меньше делителя.

Множество целых неотрицательных чисел – множество, которое представляет собой объединение множества натуральных чисел с множеством, состоящим из 0.

Теоретико- множественный смысл 0 состоит в том, что 0 определяет число элементов в пустом множестве 0=n (Ф).

1) Если к числу а+0, то это есть объединение числа а с пустым множеством.

а+а = n (АUФ)=n(А)=а

2) а-0= n (А\Ф) =n (А)

3) а*0=0 (по определению)

0*а = 0+0+…+0, а>1

4) 0 : а = 0

а не равно 0.

5) Делить на 0 нельзя (от противного), предположим а : 0=b:

- а не равно 0, тогда по определению частного

а = b *0

а=0

- а=0, 0:0=b, 0=0*b

Это противоречит тому факту, что если частное существует, то оно единственно.

Определение деления с остатком на множестве целых не отрицательных чисел.

Пусть а – целое неотрицательное число, b – натуральное число, тогда разделить а на b с остатком, это значит, найти такие целые неотрицательные числа q r, что выполнились следующие условия:

а ≤ r <b

a= b*q+r

q – называется неполным частным (в начальной школе просто частное)

r- остаток.

Пример: 9:2 = 4 (ост.1)- деление нацело есть деление с остатком

8:2 = 4 (ост.0)

Теоретико-множественный смысл деления с остатком состоит в следующем:

Пусть а =n(А), это множество (А) разбивается на подмножества, которые попарно не пересекаются и каждое их них содержит по b элементу. И пусть ещё останется одно подмножество, входящее во множество А, которое попарно не пересекается ни с одним из указанных подмножеств и число элементов в нём меньше b.

Каждое из этих попарно не пересекающихся равномощных подмножеств будет содержать по b элементов и таких подмножеств будет q.

(b = n (A1) = n (A2)=…= n(Aq)

n(M)=r- число элементов.

A= A1, A2 U … Aq U M

Теоретико-множественный смысл неполного частного q состоит в том, что оно показывает сколько попарно- непересекающихся, равномощных между собой подмножеств, каждое из которых содержит по b элементов вошло в А.

А остаток r показывает сколько элементов вошло в подмножество, которое не равномощно указанному в раннем подмножестве входящем в А.

Примеры:

1) Делимое больше делителя (рис. /запись – соотнести, запись /рис. соотнести), Истомина, Моро (остаток меньше делителя)

2) Делимое меньше делителя. Истомина.

Решить уравнение, использовать зависимость между компонентами арифметических действий.

120: (а+4)-50=40

(72+х)*4+49=51

Руководствуясь алгоритмом письменного деления…

«4:25» - нельзя получить 0». Когда мы говорим, что на 0 делить нельзя, мы в частном ничего не получаем. Здесь же наблюдается определённое противоречие: говорят, что 4:25 нельзя, при этом в частном получается 0. То такая ситуация может привести к тому, что у ребёнка могут возникнуть ложное представление о делении с остатком в случае, когда делимое меньше делителя. Чтобы такого представления не возникло, ещё на этапе ознакомления деления с остатком разобрать те случаи, когда делимое меньше делителя. Особое внимание этой проблеме уделяет Наталья Борисовна Истомина в своих учебниках по математике в начальной школе. При раскрытии проблемы она активно использует такие приемы развивающего обучения как анализ, сравнение, обобщение. Для того чтобы привлечь учащихся к решению данной проблемы она использует такой прием как беседа, которая позволяет …… учащимся в решении данной проблемы. Об этом свидетельствуют упр. 134, 139, которые представлены в учебнике математики 4 класс. Она рассматривает это упражнение через беседу.