Билет 20
1. Определение умножения натуральных чисел через сложение. Теоретико-множественный смысл произведения. Словесные формулировки свойств умножения, изучаемых в начальной школе. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих теоретико-множественный смысл умножения натуральных чисел.
Натуральные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
Определение умножения натуральных чисел через сложение.
Результатом действия умножения является произведение.
Произведением целых неотрицательных чисел а и в называется такое целое неотрицательное число, которое удовлетворяет следующим условиям:
1. если b > 1 => а * b = а + а +...+ а (b раз)
2. если b = 1 => а * в = а; (а * 1 = а)
3. если b=0 => а * в = 0; (а * 0 = 0)
Пример:
3*4=3+3+3+3=12
3 - слагаемое
4 - количество раз.
1 * 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5
5*1=5 (по определению произведения)
0 * 2 = 0 + 0 = 0
2 * 0 = 0 (по определению)
Теоретико-множественный смысл произведения.
Пусть, А - число элементов, в каждом попарно непересекающихся равномощных между собой В множеств.
А = n(А1) = n(А2) =... = n( Аb)
А1, А2,..., Ab - попарно непересекающиеся равномощные между собой множества.
Тогда произведение а * в будем называть числом элементов в объединении этих В множеств.
а * b = n(А1 U А2 U ... U Аb)
Пример:
4 = n(А1) = n(А2) //// - А1
4 * 2 = n(А1 U А2 ) = 8 **** - А2
Определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств:
Пусть А – целое неотрицательное число, определяющее число элементов в некотором множестве А, а В – число элементов в некотором множестве В.
а = n(А) и b= n(В).
Тогда, произведением а и в будем называть число элементов в декартовом произведении множеств А и В.
а * b= n(А х В)
Пример:
Пусть 3 – это число элементов во множестве А, а 4 – число элементов во множестве В. Тогда декартово произведение будет содержать 8 элементов. Следовательно: 2 * 4 = 8.
2 * 4
2 = n(А)
4 = n(В)
А х В = 8 => 2 * 4 = 8
Свойства умножения и теоретико-множественная интерпретация.
1) Коммутативное свойство: для любых целых неотрицательных чисел а и b верно равенство: а * b = b * а
2) Ассоциативное: для любых целых неотрицательных чисел а, b и с верно равенство: (а * b) * с = а * (b * с).
3) Дистрибутивное свойство умножения относительно сложения: для любых целых неотрицательных чисел а, b и с верно равенство: (а + b) * с = а * с + b * с.
(а+b)*с = а*с+b*с => А х(ВUC) = (АхВ) и (АхС)
(а-b)*с = а*с-b*с => А х (В\С)=(АхВ) \(АхС)
Билет 21
1. Понятие соответствия между множествами. Взаимно однозначные соответствия. Определение числовой функции. Способы задания функции.. Примеры числовых функций из начального курса математики, заданных при помощи: а) таблицы, б) выражения с переменной, в) формулы.
Соответствием между элементами множества Х и элементами множества Y называется любое подмножество декартова произведения множеств Х и Y.
Способы задания соответствия:
1. соответствие может быть задано с помощью перечисления элементов, входящих в него:
Х={1; 2; 3}
Y= {2; 4}
T= {(1;2); (1;4); (2;4); (3;4)}
2. при помощи характеристического свойства:
Т: “х<y”
3. при помощи графика:
Y
4. при помощи графа:
Соответствие между элементами множества Х и элементами множества Y называется взаимнооднозначным, при котором каждому элементу из множества Х соответствует единственный элемент из множества Y, и каждый элемент из множества Y соответствует единственному элементу из множества Х. Пример: соответствие, которое задается формулой х=у, причем множество Х и множество Y есть множества действительных чисел.
Если множества конечны, то отношение взаимнооднозначно только, если они содержат одинаковое количество элементов.
Если между множествами можно установить взаимнооднозначное соответствие, то такие множества называются равномощными.
N=x
Y= {y/y € N; y=2n}
Числовой функцией называется такое соответствие между некоторым числовым множеством Х и множеством действительных чисел Y, при котором каждому элементу из множества Х ставится единственный элемент из множества Y.
Х является областью определения функции. Y – область значения функции.
Y – это множество всех тех действительных чисел х, которые являются элементами множества Х.
Способы задания функции:
1. при помощи уравнения-формулы
2. при помощи таблицы
3. с помощью графика