Билет 12

1. Позиционные и непозиционные системы счисления. Особенности десятичной системы счисления. Правило установления отношений 2равно», «меньше», «больше» для чисел, записанных в этой системе. Примеры заданий из начального курса математики, при выполнении которых младшие школьники знакомятся с особенностями десятичной системы счисления.

Каждый человек постоянно сталкивается в своей жизни с числами, которые он должен уметь записывать, называть, а так же выполнять над ними действия. Основными языком, которым мы пользуемся, для названия записей чисел является позиционная десятичная система счисления.

Системой счисления называется язык для названий чисел, их записи, сравнения, а так же выполнения действий над ними.

Нумерация чисел – язык для названия чисел их записи и сравнения.

Из десяти цифр, которые используются в десятичной системе счисления, составляются конечные последовательности, которые называются краткими записями числа.

Система счисления называется позиционной потому что при её использовании значение числа зависит о того на каком месте располагается тот или иной знак (цифра) в записи числа.

Десятичной записью числа Х является:

Х = а_п * 10^п + а_п-1 * 10^п-¹ +...+ а₁ * 10 + а₀

а_{0 =} а₀ * 10

где а_п ,а_{п-1 , …,} а_1, а₀ принимают любые из следующих значений: 0, 1, 2, …, 9.

Причём а₂ не равняется 0

10^п , 10^п-¹,…, 10, 10 называются разрядными единицами.

(10 = 1)

10 единиц одного разряда составляет одну единицу следующего разряда, поэтому система называется десятичной.

Число 10 в этом случае называется основанием системы.

Р азличают следующие разряды:

1. единиц

2. десятков класс единиц

3. с отен

4. тысяч

5. десятков тысяч класс тысяч

6. сотен тысяч

7. 

8. класс миллионов

Представление натурального числа в десятичной системе счисления:

2382 = 4 * 10³ * 3 * 10 ² + 8 * 10 + 2

Следует отметить, что представление числа в 10 сс. находит своё отражение в несколько адаптированном виде в курсе математики в начальной школе и называется там представлением числа в виде суммы разрядных слагаемых.

4382 = 4000 + 300 + 80 + 2

Представление числа в 10 сс. даёт способ сравнения натуральных чисел, который состоит в следующем:

Х = а_п * 10^п + а_п-1 * 10^п-¹ +...+ а₁ * 10 + а₀

Y = b_m * 10^m + b_m-1 * 10^m-¹ + ... + b₁ * 10 + b₀

Тогда:

1) если n > m, то x > y

2) n = m, то :

1. а_п > b_m => x > y (5844 и 3849, 5 > 3);

2. а_п = b_m

а_п-1 = b_m-1;

а_к+1 = b_{к +1}

а_к > b_к => x > y (45823 > 45819)

Ознакомление учащихся с особенностями 10 сс. происходит практически в процессе всего обучения математики в курсе начальной школы.

Т. е.:

- сначала дети знакомятся с этими особенностями на этапе изучения чисел первого десятка;

- получают представления о таких понятиях, как разряд единиц.

- познания детей расширяется на этапе изучения натуральных чисел и действий над ними в концентре сотни;

- вводятся такие понятия и названия как «разряд», «первый», «второй разряд единиц», «разряд десятков», «однозначное и двузначное число», «счётная единица», «десяток»;

- получают представления об алгоритме образования натурального числа и об алгоритме построении названия натурального числа.

Самое главное:

- дети знакомятся и осознают тот факт, что 10 единиц разряда единиц дают единицу следующего разряда.

Особенности ДСС:

- основание – число 10;

- набираем 10 единиц младшего разряда и получаем единицу следующего разряда.

*проблемность: возможность получить различные варианты ответов; чтобы обосновать правильность своего решения ребенок должен провести рассуждение.

• Задания, указывающие на то, что в основании лежит число 10:

Истомина 2 класс с.11 №33

Истомина 3 класс с.13 №52, с. 131 №421

Истомина 2 класс с.108 №323, с.117 №361

Задания комбинаторного плана:

Даны цифры 2 и 3. Составь с помощью этих цифр всевозможные двузначные числа:

Истомина 3 класс с.132 №426

Истомина 2 класс с.113 №345-346

Билет 13

1. Высказывания и высказывательные формы. Смысл логических связок «и», «или», «неверно, что» в составных высказываниях. Высказывания с кванторами, способы установления их значения истинности. Особенности формулирования высказываний с квантором общности в начальном курсе обучения математики и установления их значения истинности. Математические предложения подразделяются на элементарные и составные, и среди множества этих простых предложений выделяют высказывания и высказывательные формы (предикаты). Высказыванием называется такое предположение, относительно которого имеет смысл задать вопрос, истинно оно или ложно. Определить истинно высказывание или ложно – это значит найти значение истинности высказывания.Высказывания бывают элементарные и составные. Составные образуются из элементарных при помощи логических связок: и, или, если…то, не и т.д. Значение истинности элементарных высказываний определяется на основании тех знаний, умений и навыков, которыми владеют учащиеся. Значение истинности составных высказываний устанавливается по определенным правилам с помощью таблиц истинности. Высказывание вида А V B («или») называется дизъюнкцией высказываний А и В. Для того, чтобы определить ее значение истинности, составляем таблицу:

А	В	А V В
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Пример: 48 кратно 5 или 6.

А: 48 кратно 5

В: 48 кратно 6

А В АVВ

л и и

А B («и») – конъюнкция высказываний А и В.

А - «не» А

А	А
и	л
л	и