3. Истомина 4 класс, с. 130, № 307 Билет 4

1. Определение деления натуральных чисел через умножение. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел. Условие существования частного натуральных чисел. Правило деления суммы на число, его теоретико-множественная интерпретация. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих теоретико-множественный смысл частного.

Натуральные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Частным натуральных чисел а и b называется такое число с, что а=b*с.

Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел.

1. Пусть а = n(А), и множество А разбито на попарно непересекающиеся равномощные между собой подмножества. Тогда если b - число элементов в каждом из этих подмножеств, то частным а и b будет называть число этих подмножеств.

2. Если b есть число этих подмножеств, то частным а и b будет называться число элементов в каждом из этих подмножеств.

Примеры:

1) 12:3

А /// /// /// ///

12 = n(А)

Разбиваем это множество А на попарно непересекающиеся равномощные подмножества, каждое из которых содержит 3 элемента.

Таких подмножеств 4, значит, 12:3=4

b=3

2) Пусть 12=n(А) и b=3

/ / / / / / / / / / / /

I II III (поочередно распределяем элементы по подмножествам - 1й-/, 2й-//, Зй-1///, 4й-/, 5й-//, 6й-/// и т.д.).

Тогда каждое из этих подмножеств будет содержать по 4 элемента.

n(А₁)=n(А₁)=n(Аз)=4, поэтому 12:3=4

Условие существования частного натуральных чисел:

Для того чтобы частное натуральных чисел а и b существовало на множестве натуральных чисел необходимо и достаточно, чтобы b не было равно нулю

А => В

А – достаточное условие для В.

В – необходимое условие для А.

Если частное существует, то, а>=b.

Правило деления суммы на число, его теоретико-множественная интерпретация.

1. Если а кратно в и с кратно в, где а и с - целые неотрицательные числа, а в – натуральное число, то сумма а + с делиться на в и равна сумме частных а : в и с : в.

(а кратно в и с кратно в) => ((а + с) : в = а : в + с : в)

Для того чтобы сумму целых неотрицательных чисел разделить на натуральное число, достаточно на это число разделить каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Билет 5

Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих смысл произведения и частного натуральных чисел – мер величин.

Умножение натуральных чисел полученных в результате измерения величин отражает переход от одной единицы измерения к другой. Т. е. если натуральное число m есть значение длины отрезка А при выбранной единице измерения Е , а натуральное число n - есть значение длины отрезка Е, при выбранной единицы длинны Е₁, то произведение натуральных чисел m и n – есть численное значение длинны отрезка А, при единице длинны Е₁.

m = m Е (А)

n = m Е₁ (Е)

m * n = m Е₁ (А)

A = 5 м = 5 * 1 м = 5 * 10 * 1 дм = (5 * 10 (m _1дм (А)) = 50 * 1 дм = 50 дм

Под делением натуральных чисел полученных в результате измерения положительных скалярных величин, следует понимать переход от одной единицы измерения к другой. Т. е. если натуральное число m есть численное значение длинны отрезка А при выбранной единице измерения Е , а натуральное число n - есть значение длины отрезка Е₁ при выбранной единицы длинны Е, то частное натуральных чисел m и n – есть численное значение длинны отрезка А, при единице длинны Е₁.

m = m Е (А)

n = m Е (Е₁ )

m : n = m Е₁ (А)

A = 60 дм = 60 * 1 дм = 60 * 1 : 10 м = (60 : 10 (m _Е1 (А)) * 1 = 6 * 1 м = 6 м

5 ящ. = 5 * 1 = 5 * 10 * 1 кг = (5 – 10) *1 кг = 50 кг

Представление натурального числа как результата измерения величин лежит в основе изучения математики в начальной школе по система Эльконина- Давыдова, поэтому наибольшее количество заданий раскрывающих в явном виде смысл умножения и деления натуральных чисел, полученных в результате измерения величин, находит своё отражение в учебниках созданных в указанной системе.

Пример: таких заданий из учебника Александровой Эльвиры Ивановны. (№ 34, 36, 37, 51)

Детям предлагается измерять одну и ту же величину при помощи различных мерок. Предлагаются различные задания на переход от одной мерки к другой.

БИЛЕТ № 6

Теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел. Свойства сложения, их теоретико-множественный смысл и назначение. Словесные формулировки свойств сложения, изучаемых в нач школе. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел.

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В – 4 элемента и пересечение множеств А и В, пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5 + 4.

Теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел а и в представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = n(A), b = n(B): а + в = n(A) + n(B) = n(A  B), если А  В = .

Словесные формулировки свойств сложения, изучаемых в нач школе:

1. Переместительный закон (коммутативный) – от перемены мест слагаемых сумма не меняется

2. Сочетательный закон (ассоциативный) – сумма не зависит от порядка выполняемых действий или 2 соседних слагаемых можно заменить значением их суммы

3. Распределительный закон умножения (дистрибутивный)

Пример: «Катя нашла 3 гриба, а Маша – 4. Сколько всего грибов нашли девочки?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В грибов Маши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так как n(А) = 3, n(В) = 4 и А  В= , то n(A  B) = 3 +4. Сумма 3 + 4 – это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3 + 4 = 7. Следовательно, девочки нашли 7 грибов.