Билет №14

1. Уравнение первой степени с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений. Примеры уравнений из учебников математики для начальной школы и способы их решения.

Пусть f(х) и g(х) два выражения с переменной, определенные на некотором множестве Х, тогда высказывательная форма вида f(x)=g(x) называется уравнением с одной переменной. Х – область определения уравнения.

Решить уравнение - значит найти все те значения переменной х из области определения уравнения, при которых уравнение превращается в истинное числовое равенство.

Решить уравнение - значит найти множество истинности высказывательной формы f(x)=g(x).

Два уравнения называются равносильными на некотором множестве X, если множества их решений совпадают.

П ример:

3(х – 2) = 0 равносильные уравнения, т.к множества их решений

3х – 6 = 0 совпадают

Теоремы о равносильных уравнениях.

Теорема 1 .

Пусть уравнение f(x)=g(x) определено на некотором множестве X и выражение с переменной h(х) определено на этом же множестве, тогда уравнение f(х)+h(х)=g(х)+h(х) будет равносильно уравнению f(х)=g(х) на том же множестве Х.

Следствия из теоремы:

1) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

2) Если какое-либо слагаемое в уравнении перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2.

Пусть уравнение f(x)=g(x) определено на некотором множестве Х и выражение с переменной h(x) определено на этом же множестве и оно не обращается в нуль ни при каких значениях х их множества Х, тогда уравнение f(x)*h(x)=g(x)*h(x) будет равносильно уравнению f(x)=g(x) на том же множестве Х.

Следствие из теоремы

Если обе части уравнения умножить на одно и то же число неравное 0, то получим новое уравнение, равносильное данному.

В курсе математики в начальной школе учащиеся решают уравнения двумя способами:

1. подбором

2. решение уравнение способом, в основе которого лежит связь между компонентами арифметических действий и их результатом.

Для того, чтобы сформировать у учащихся навыки решения уравнений, имеет смысл предлагать следующие задания:

- реши уравнение и выполни проверку

- выполни проверку решенных уравнений и найди ошибку

- даны числа 3, 10, х. Составь с помощью этих чисел уравнения и реши их (очень важно, чтобы учащиеся предлагали разные уравнения).

Очень эффективными с точки зрения развития мышления, формирования учебных действий по решению уравнений, усвоению связей между компонентами и их результатом являются упражнения вида:

- даны уравнения (не менее 8), детям предлагается из данных уравнений найти и решить только те, где неизвестное можно найти при помощи указанного действия.

- рассмотрите решение уравнения; определите, чем является неизвестное число в уравнении, вставьте пропущенный знак действия:

х ? 3 = 30

х = 30 : 3

Следует отметить, что все указанные выше уравнения относятся к так называемым простейшим уравнениям. Кроме простейших уравнений учащимся предлагается решение сложных уравнений, где нахождение корня осуществляется в несколько этапов. Для решения такого рода уравнений необходимо, чтобы дети кроме знания связей между компонентами и их результатом, знали правило выполнения порядка действий в выражении, умели выполнять простейшие преобразования.

Для того, чтобы дети получили осознанные навыки решения уравнений, следует систематически предлагать им задания для решения уравнений. Задания должны быть разнообразные, соответствующего уровня сложности.