Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

2

ÓÄÊ 514.742.4(075) ÁÁÊ 22.14

Á 43

Печатается по постановлению редакционно-издательско- го совета Сыктывкарского госуниверситета

Ðå ö å í ç å í ò û:

кафедра математического анализа Коми государственного педагогического института,

Г.В. Уфимцев канд. физ.-матем. наук, доцент, Сыктывкарский лесной институт

Беляев Ю.Н.

Á 43 Введение в векторный анализ: Учебное пособие. Сыктывкар: Из-во СыктГУ, 2008. 215 с.: ил.

ISBN 978-5-87237-601-1

Данное пособие содержит основные сведения из алгебры векторов.

Правила дифференцирования вектор-функции по скалярному аргументу демонстрируются на примерах из механики, в частности из кинематики материальной точки и абсолютно тв¼рдого тела.

Основные функции точки градиент скалярного поля, расхождение и вихрь векторного поля даны в инвариантной по отношению к выбору системы координат форме. Интегральное представление вихря и расхождения векторного поля используются для доказательства теорем Остроградского и Стокса. Даны подборка формул для градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в некоторых ортогональных системах координат, а также задачи для самостоятельной работы студентов с примерами решения типовых задач, используемых для контроля усвоения материала.

Книга предназначена для студентов физических специальностей.

c Беляев Ю.Н., 2008

c Сыктывкарский госуниверситет, 2008

ISBN 978-5-87237-601-1

4

Ÿ6. Приложение к тригонометрии . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1.Проекции единичного вектора. . . . . . . . . . . . . 46

6.2.Тригонометрическая форма записи проекции. . . . 46

6.3.Основное тригонометрическое тождество . . . . . . 47

6.4.Формулы приведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.5.Теорема синусов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.1.Координаты вектора в ортонормированном базисе. 50

7.2.Длина вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.3.Направляющие косинусы. . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.4.Угол между направлениями. . . . . . . . . . . . . . 52

7.5.Радиус-вектор в декартовой системе координат . . 53

7.6.Определение векторной суммы методом проекций. 55

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Ÿ8. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . 59

8.1.Cвойства скалярного произведения. . . . . . . . . . 60

8.2.Евклидовое пространство. . . . . . . . . . . . . . . 61

8.3.Теорема косинусов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.4.Скалярное произведение в ортонормированном базисе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Ÿ9. Векторное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . 68

9.1.Свойства векторного произведения. . . . . . . . . . 69

9.2.Векторное произведение в ортонормированном базисе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.3.Выражение векторного произведения через

1.1.Геометрический смысл производной. . . . . . . . . 79

1.2.Основные свойства производных. . . . . . . . . . . 82

Ÿ2. Интеграл от вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Ÿ3. Оси естественного тр¼хгранника . . . . . . . . . . . . . . 91

3.1.Формулы Френе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.2.Скорость и ускорение в осях натурального триэдра. 96

3.3.Вычисление кривизны пространственной кривой. . 99

5

3.4.Кручение пространственной кривой. . . . . . . . . 103 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Ÿ4. Криволинейные ортогональные системы координат . . . 104

4.1.Базисные векторы и коэффициенты Ламе. . . . . . 107

4.2.Скорость и ускорение материальной точки в криволинейной ортогональной системе координат. 108

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Ÿ5. Сложение движений. Приложение к кинематике. . . . . 112

5.1.Перемещение системы отсч¼та. Угловая скорость. 113

5.2.Скорости точек тв¼рдого тела. . . . . . . . . . . . . 116

5.3.Ускорения тв¼рдого тела. . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4.Абсолютная скорость движения материальной точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.5.Сложение ускорений. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Ÿ1. Скалярное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

1.1.Поверхность уровня скалярного поля. . . . . . . . 133

1.2.Дифференцируемое скалярное поле. . . . . . . . . 134

1.3.Производная по направлению. . . . . . . . . . . . . 135

1.4.Геометрический смысл градиента. . . . . . . . . . . 136

1.5.Градиент суммы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1.6.Градиент сложной функции. . . . . . . . . . . . . . 141

1.7.Градиент в ортогональной системе координат. . . . 143 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Ÿ2. Векторное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.1.Уравнение векторной линии. . . . . . . . . . . . . . 148

2.2.Криволинейный интеграл от векторного поля. . . . 151

2.3.Вычисление криволинейного интеграла . . . . . . . 153

2.4.Вихрь векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.1.Поток скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.2.Поток векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.3.Нормаль к поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . 167

3.4.Вычисление потока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3.5.Поток через замкнутую поверхность. . . . . . . . . 170 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6

Ÿ 4. Расхождение векторного поля . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.1.Расхождение в ортогональной системе координат . 172

4.2.Соленоидальное векторное поле. Векторный потенциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.3.Лапласово векторное поле. . . . . . . . . . . . . . . 175 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Ÿ5. Символические обозначения основных дифферен-

циальных операций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.1.Символический вектор набла . . . . . . . . . . . . . 177

5.2.Оператор Лапласа, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.3.Производная вектора по другому вектору . . . . . 179

5.4.Дифференциальные операции от произведений функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.5.Дифференциальные операции второго порядка . . 183 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Ÿ6. Некоторые ортогональные системы координат . . . . . . 184

6.1.Система цилиндрических координат. . . . . . . . . 185

6.2.Сферическая система координат. . . . . . . . . . . 186

6.3.Система параболических цилиндрических координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4.Система параболоидальных координат. . . . . . . . 188

6.5.Система эллиптических цилиндрических координат. 189

6.6.Система вытянутых эллипсоидальных координат. 190 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Ÿ7. Теорема Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Ÿ 8. Теорема Остроградского и связанные с ней формулы . 195

8.1.Теорема Остроградского. . . . . . . . . . . . . . . . 195

8.2.Формула для градиента. . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.3.Формула для вихря. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.4.Формулы Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Ответы и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

дания не только указания числового значения, но и направления в пространстве, называются векторными величинами, или

векторами.

Термины скаляр (1843) и вектор (1845) были придуманы Гамильтоном, который образовал их соответственно от латинских слов scale шкала и vector несущий.

Простейшим скаляром является отвлеченное число, а простейшим вектором прямолинейный отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление от начальной точ- ки отрезка к его конечной точке.

1.3. Изображение и обозначения векторных вели- чин. Существует несколько различных форм обозначения векторных величин. Одна из старейших черточка над буквой. Именно так обозначал направленный отрезок Арган. Максвелл (James Clerk Maxwell, 1831-1879) обозначал векторы готическими буквами, Гамильтон и Гиббс греческими буквами. Обозначение векторов жирными буквами было предложено Хэвисайдом (Oliver Heaviside, 1850-1925).

В данной работе геометрические векторы обозначаются бук-

~

вами со стрелкой вверху: ~a, b, ~c и т.п. Иногда мы будем обо-

значать вектор, начальная точка которого есть A, а конечная

!

B, символом AB. На рисунках векторы изображаются в виде прямолинейных отрезков, имеющих не только определенную длину, но и определенное направление, указываемое стрелкой на конце отрезка.

Длина вектора, которая иначе называется модулем вектора, обозначается той же буквой, что и вектор, но без стрелки. Иногда для обозначения модуля вектора берется обозначение самого вектора, помещенного в прямые скобки. Например, p = jp~j модуль вектора p~.

~

Нуль-вектор вектор 0, длина которого равна нулю, может иметь любое направление в пространстве.

Угол между векторами p~ и q~ это наименьший угол, на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим (рис.1). Будем обозначать этот угол сим-

d

волом (p;~ q~).

1.4. Равенство векторов. Когда мы сравниваем векторные физические величины, то подразумевается, что они имеют одинаковую физическую размерность.

Различают три разных типа векторов. Каждый из них объединяет совокупность векторов с одинаковыми свойствами.

Свободные векторы определяются направлением линии действия и модулем. Такие векторы равны, если они равны по мо-

d

~

дулю f = g и одинаково направлены, т.е. (f; ~g) = 0: Иными

~

словами, мы не различаем двух свободных векторов f и ~g, имеющих разные точки приложения и получающиеся один из другого параллельным переносом.

~

Равенство двух векторов f и ~g символически записывается следующим образом:

~

f = ~g:

!Связанный вектор. Для определения связанного вектора AB требуется указать его линию действия (на рис. 2a это линия xx0), направление на этой линии (от x к x0), его начало (A) и длину вектора. Связанные векторы это векторы, для эквивалентности которых необходимо их равенство по длине, одинаковое направление и общее начало. Примером такого вектора может служить сила, приложенная к некоторой точке упругого

Скользящий вектор. Определение остается таким же, как и в предыдущем случае, если исключить требование о закреплении начала вектора. Оно может находиться в любой точке оси xx0. Скользящими называют такие векторы, которые счита-

ются эквивалентными, если они равны по модулю, одинаково

! !0 0

направлены и лежат на одной прямой (например, AB = A B на (рис. 2b)). Примерами таких векторов являются силы, рас-