Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

Задачи.

73. Показать, что угловую скорость !~ твердого тела можно выразить через базисные векторы ~ex; ~ey ; ~ez связанной с телом декартовой системы координат OXY Z в виде

~ae + ~ac=2:

75.Катер плывет прямолинейно со скоростью v1: Второй катер плывет со скоростью v2 под углом к направлению движения первого. Найти величину и направление скорости второго катера, определяемые наблюдателем, находящимся на палубе первого.

76.Точка A движется по ободу диска радиуса R согласно уравнению OA = c1t: Диск вращается вокруг оси, проходящей через т. O перпендикулярно плоскости диска (рис. 74) по за-

êîíó ' = c2t: Найти абсолютную скорость т. A в положении, показанном на рисунке, если c1 = 0:2 ì/ñ; c2 = 2 c 1; R = 0:3 ì:

77. Стержень OA вращается в плоскости OXY вокруг т. O против часовой стрелки (рис. 75). По стержню скользит колеч- ко P: Пренебрегая размерами колечка, найти его абсолютную

скорость и абсолютное ускорение в момент времени t = 1 c; если p

' = C sin 4 t; OP = Bt2; ãäå C = 4 10= ; B = 2 ì/ñ2:

78.Решить предыдущую задачу при условии, что ' =

Bt; OP = OA sin Bt; B = 2 c 1; OA = 0:1 ì; 0 t =2:

79.Частицы жидкости, принимаемые за материальные точ- ки, движутся со скоростью vr = 0:06 м/с в тонкой трубке, име-

132 Глава 2. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

ющей форму окружности радиуса R = 0:1 м (см. рис. 76). Трубка равномерно вращается вокруг оси AB с угловой скоростью ! = 0:4 рад/с: Определить абсолютное ускорение частиц жидкости в положениях A и C:

t(м/с) по хорде диска, вращающегося вокруг оси O; перпенди- p

кулярной плоскости диска, с угловой скоростью ! = 2 рад/с: В момент времени t = 2 c м.т. находится в положении A (рис. 77). Определить абсолютное ускорение м.т. в этот момент времени, если OA = 0:6 м:

81. Трубка вращается вокруг оси OO1 с угловой скоростью p

! = 2 рад/с: Маленький шарик A движется вдоль трубки (см. p

рис. 78) по закону A0A = 0:72 t2(м): Найти модуль абсолютного ускорения шарика в момент времени t = 1 с:

82. Полое кольцо (рис. 79) радиуса R = 2= 2 м вращается по закону ' = t2=4 вокруг оси O; перпендикулярной плоскости кольца. По кольцу движется м.т. A по закону OA = t2= : Найти модуль абсолютного ускорения м.т. в момент времени t = 1 с:

134 Глава 3. ФУНКЦИИ ТОЧКИ

П р и м е р 54. Для скалярного поля U (M ) = x2+4y2 (x; y декартовы координаты точки M ) линии уровня определяются

Последнее равенство есть уравнение эллипсов с полуосями a =

C è b = C=2:

Максимальная наглядность графического изображения скалярного поля с помощью поверхностей уровня достигается, если эти поверхности проводятся для равноотстоящих значений функции. Места сближения двух последовательных изоповерхностей указывают на быстрое изменение здесь функции.

1.2.Дифференцируемое скалярное поле. Возьмем

две точки M и M 0; принадлежащие и определяемые радиус-

M области ; если для любого ~r = ` ~e` приращение поля U в т. M может быть представлено в виде

ãäå d~r = ~r.

Покажем, что если поле U (M ) дифференцируемо, то вектор

Последнее равенство должно выполняться при любом `; в частности при ` ! 0: В соответствии с условием (3.2) для лю-

áîãî ~e`

! !

(G1 G2) ~e` = 0;

! !

откуда G1 = G2; что и требовалось доказать.

1.3. Производная по направлению. Рассмотрим отношение приращения скалярного поля U , которое функция U приобретает при смещении из т. M в т. M 0 в направлении ~e`, к величине смещения `

Если существует предел этого отношения при ` ! 0, то он называется производной функции U по направлению ~e`

Если скалярное поле U дифференцируемо в точке M , то существует производная от U по любому направлению `, которая в соответствии с формулами (3.1) и (3.2) может быть представлена в виде

Используя свойство (3.6) и формулы (3.8) и (3.9), получаем grad U ~e` = (grad U1 + grad U2) ~e` :

Это равенство должно выполняться для любого ~e` , следовательно,

градиент суммы полей равен сумме градиентов.

Пусть даны поверхности уровня функции U1 и функции U2, построенные для равноотстоящих значений, соответственно U1 = U10 n è U2 = U20 n :

На рис. 81 показаны линии уровня, соответствующие сече- ниям этих поверхностей плоскостью чертежа.

Значению '0 cуммарного скалярного поля ' = U1 + U2 соответствуют точки пересечений линий

U1 = U10 ; è U2 = U20 ;

Значения '0 принадлежат точкам пересечения линий

U1 = U10 + ; è U2 = U20 2 ;

U1 = U10 ; è U2 = U20 ;

На рис. 81 штрихованными линиями приближ¼нно показаны следы поверхностей уровня ' = '0, ' = '0 è ' = '0 2 , это диагональные кривые криволинейных четыр¼хугольников, образованных линиями уровней U1 = const è U2 = const.

'0

'0 2

grad '(M )

Нетрудно заметить, что другая серия диагональных кривых данных криволинейных четыр¼хугольников есть линии уровня для разности скалярных полей. На рис. 81 пунктирными линиями показаны следы поверхностей уровня поля = U1 U2 для тр¼х значений 0 = U10 U20 , 0 = U10 U20 è

0 + = U10 U20 + .

П р и м е р 56. Эквипотенциальные поверхности электростатического поля двух единичных точечных зарядов.

Две системы концентрических окружностей на рис. 82 изображают линии уровня потенциалов двух точечных зарядов, на-

ходящихся в точках A и B. Разность потенциалов между двумя соседними линиями уровня составляет 1=12 единицы потенциала (системы СГСЭ).

3

21

A

4

B

5

67

Ðèñ. 82

Если в точках A и B находятся отрицательные заряды, линии уровня суммарного поля схематично изображают штрихованные кривые (проведены для значений от 5=12 до 1 с интервалом 1=12 единиц через соответствующие точки пересечений окружностей).

Если один заряд отрицательный, а другой положительный, линиям уровня суммарного поля соответствуют пунктирные