Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

~r = a cos " ~ex + b sin " ~ey :

Найдем первую и вторую производные радиус-вектора по " и выполним вычисления согласно формуле (2.54):

~r"0 = a sin " ~ex + b cos " ~ey ; ~r""00 = a cos " ~ex b sin " ~ey ;

104 Глава 2. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

(2.58) и учитывая, что смешанное произведение трех векторов, два из которых одинаковы, равно нулю, получаем

Задачи

66.По заданным уравнениям движения точки найти: уравнение траектории, скорость и ускорение м.т.; тангенциальную

èнормальную составляющие ускорения, радиус кривизны траектории в момент времени t = 1 с:

1)~r = (3t 6)~ex + (2 2t)~ey ;

2)~r = 2t~ex + 8t2~ey ;

3)~r = (5 sin 8t)~ex + (5 cos 8t)~ey ;

4)~r = (2 3 cos 4t)~ex + (sin 4t 1)~ey ;

5)~r = (3t2)~ex + (5t2)~ey ;

6)~r = (4 cos 5t2)~ex + (4 sin 5t2)~ey ;

7)~r = (3t)~ex + (t3)~ey :

67.Определить кривизну и кручение винтовой линии

~r = A cos Bt ~ex + A sin Bt ~ey + Ct~ez :

Ÿ4. Криволинейные ортогональные системы координат

Âдекартовой системе координат положение точки M определяется тремя независимыми параметрами x, y; z, и заданные в трехмерном пространстве физические величины являются функциями этих трех координат.

Ÿ 4. Криволинейные ортогональные системы координат 105

Часто положение точки M в пространстве определяют с помощью криволинейных координат q1; q2; q3 тройки независимых величин, которые однозначно определяют положение точ- ки в пространстве и связаны с решаемой задачей более естественным образом, чем декартовые. Например, для задач с осевой симметрией в качестве криволинейных координат удобно использовать цилиндрические: q1 = расстояние от т. M до фиксированной прямой OZ; q2 = ' угол между фиксированной плоскостью OXZ и полуплоскостью, ограниченной осью OZ и проходящей через т. M ; q3 = z расстояние от точки M до плоскости, перпендикулярной оси OZ и проходящей через т. O (рис. 60), которое бер¼тся со знаком плюс в одном направлении от плоскости и минус в другом.

следние изменяются в пределах: 0 < 1; 0 ' < 2 ; 1 < z < 1: Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами очевидна:

Другой часто используемой системой координат является сферическая (см. рис. 61): q1 = r расстояние от фиксированной точки O до т. M ; q2 = угол между фиксированной осью OZ и радиус-вектором ~r т. M ; q3 = ' угол между фиксированной полуплоскостью OXZ и полуплоскостью, ограниченной осью OZ и проходящей через т. M . В этом случае

106 Глава 2. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

а пределами изменений сферических координат являются

0 r < 1; 0 ; 0 ' < 2 :

Пусть в некоторой криволинейной системе координат q1; q2; q3 точка M характеризуется координатами q1M ; q2M ; q3M : Координатной линией q1; проходящей через т.M , называется кривая, описываемая вектор-функцией (см. рис. 62)

~r = ~r(q1; q2M ; q3M );

где координаты q2 = q2M è q3 = q3M фиксированы, а координата q1 меняется в некотором интервале вблизи значения q1M . Касательная к этой линии в т. M называется координатной осью q1. Аналогично определяются координатные линии и оси q2 è q3.

1; 2; 3) (годографам ~r = ~r(qi)) совпадают с направлениями производных радиус-вектора ~r по соответствующей координате qi :

qj =0 j=6 i

Формулы (2.64) есть определения так называемых частных производных вектор-функции ~r = ~r(q1; q2; q3) по одной из переменных qi, когда две другие остаются постоянными. Чтобы

110 Глава 2. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

П р и м е р 47. Компоненты скорости и ускорения в полярной системе координат q1 = r; q2 = ' (ðèñ. 63).

Отметим, что полярную систему координат можно использовать при плоском движении материальной точки.

Предварительно найдем коэффициенты Ламе. По формуле (2.67) можно найти: H1 Hr = 1 è H2 H' = r. Подстановка этих значений коэффициентов Ламе в формулу (2.68) дает

где величины vr = r è v' = r' называются радиальной и транс-

версальной составляющими скорости соответственно. Для квадрата модуля скорости имеем

v2 = r2 + r2'2:

Компоненты ускорения вычисляем по формулам (2.72):радиальная составляющая ускорения

П р и м е р 48. Найти уравнение траектории м.т. и ее ускорение при плоском движении, если радиальная vr и трансверсальная v' составляющие ее скорости задаются соотношениями

где c постоянная.