Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

Задание векторных линий да¼т только направление вектора во всякой точке поля. Величину вектора можно характеризовать густотой проводимых линий числом линий, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную линиям поля в рассматриваемой точке.

Векторное поле скоростей точек твердого тела графически может быть представлено (см. П р и м е р 66) как система концентрических окружностей, причем ½интенсивность кручения\скорость отдельной точки, определяется вектором угловой скорости !~, одинаковым для всех точек твердого тела.

Более сложный характер может иметь вращательное движение элемента объема жидкой или газообразной среды. Степень закрученности движения малых элементов таких сред в общем случае различна и описывается вектор-функцией, получившей название вихрь или ротор векторного поля. Прежде чем дать определение этого вектора, напомним, что есть

2.2.Криволинейный интеграл от векторного поля.

~

Возьмем в области , в которой определено векторное поле P , некоторую кривую L. Разобъем кривую L с помощью точек M1(~r1), M2(~r2), : : :, Mn(~rn) на малые дуги, которым соответствуют элементарные перемещения ~ri = ~ri+1 ~ri.

Составим сумму

Xn ~ ~

P (ri ) ~ri;

i=1

~ ~

ãäå P (ri ) значение векторного поля в какой-нибудь точке

~

Mi (ri ), принадлежащей дуге MiMi+1.

Если при неограниченном возрастании числа элементов ~ri и убывании до нуля длины j ~rij наибольшего из элементов ~ri имеется конечный предел

Отметим два свойства криволинейного интеграла от векторного поля, которые очевидным образом следуют из его определения.

1. Если под знаком интеграла имеется постоянный множитель, его можно вынести за знак интеграла:

2. Интеграл по составной кривой ABC равен сумме интегралов по отдельным ее участам AB и BC:

3. При изменении направления интегрирования по кривой L интеграл меняет свой знак:

Замечая, что jd~rj = ds, где ds элемент длины кривой, можно записать интеграл (3.22) в виде

ZZ

~

P d~r = Psds;

LL

~

ãäå Ps касательная составляющая векторного поля P к кривой L.

Другая форма представления криволинейного интеграла основана на выражении скалярного произведения в декартовой системе координат

~

P d~r = Pxdx + Py dy + Pz dz;

поэтому

ZZ

~

P d~r = Pxdx + Py dy + Pz dz :

LL

2.3. Вычисление криволинейного интеграла может быть сведено к нахождению определенного интеграла.

Преобразуем скалярное произведение в левой части формулы (3.22). В декартовой системе координат

~ri = ~ri+1 ~ri = (xi+1 xi)~ex + (yi+1 yi)~ey + (zi+1 zi)~ez= = xi ~ex + yi ~ey + zi ~ez ;

max j z j!0 i=1

Пусть кривая L задана уравнениями в параметрической форме x = X(t), y = Y (t), z = Z(t). Следовательно,

Преобразуем первое из равенств системы (3.27) по формуле Лагранжа

ãäå i 2 [ti; ti+1] :

154 Глава 3. ФУНКЦИИ ТОЧКИ

Точка M , согласно определению (3.22), может быть взята произвольно на дуге MiMi+1. Выберем ее так, чтобы координаты точки M на каждом из участков разбиения кривой L соответствовали значению параметра t = i. Тогда с учетом равенства (3.28)

Px(xi ; yi ; zi ) xi = Px [X( i); Y ( i); Z( i)] Xt0 ( i) ti

и первая предельная сумма равенства (3.26) перепишется в виде

где t = и t = соответствуют координатам начала и конца кривой интегрирования L.

Преобразуем аналогичным образом две другие предельные суммы в (3.26). В итоге получаем

Z Z n

~ 0

P d~r = Px [X(t); Y (t); Z(t)] X (t) +

+ Py [X(t); Y (t); Z(t)] Y 0(t) + o

+ Pz [X(t); Y (t); Z(t)] Z 0(t) dt: (3.29)

Необходимыми и достаточными условиями существования

~

криволинейного интеграла векторного поля P вдоль кривой L являются следующие:

1)функции Px, Py , Pz должны быть непрерывны вдоль кривой L;

2)функции X(t); Y (t); Z(t) должны иметь непрерывные

производные по аргументу t.

x2y~ez при движении м.т. вдоль отрезка прямой, идущей от т.

M (3; 2; 1) äî ò. N (0; 0; 0).

Приравняем каждое из отношений последней формулы параметру t, в результате получим уравнение прямой в параметри- ческой форме:

Особый интерес представляет случай, когда кривая интегрирования L замкнута и криволинейный интеграл берется по всей кривой. Такой интеграл называется циркуляцией C век-

~

торного поля P (M ) вдоль кривой L и обозначается

L

За положительное направление обхода плоского контура L принято считать такой, при котором область , охватываемая контуром L, оста¼тся слева.

~

П р и м е р 69. Вычислим циркуляцию векторного поля P =y~ex + x~ey по контуру круга x2 + y2 = R2.

Координаты точек окружности выразим функциями одного параметра ' угла между радиусом окружности и осью X. Имеем

Для вычисления циркуляции выполняем интегрирование по параметру ' в пределах от 0 до 2 .

IZ2

Разделив элементарную циркуляцию dC1 на соответствующую ей элементарную площадь

d 1 = d`1d`2 = H1H2dq1dq2;

найдем проекцию вихря на первую координатную ось:

Аналогичным образом находятся две другие проекции вихря. Формулы для второй и третьей проекций отличается от (3.39) циклической перестановкой индексов: 1 ! 2 ! 3 ! 1. В результате получается следующая формула для вихря:

Чтобы применить эту формулу к конкретной криволинейной ортогональной системе координат, нужно подставить в (3.40) соответствующие коэффициенты Ламе.

П р и м е р 70. В и х р ь в д е к а р т о в о й с и с т е м е к о о р- д и н а т. Коэффициенты Ламе: Hx = 1; Hy = 1; Hz = 1:

Эту формулу легко запомнить, если воспользоваться следующей символической записью:

которая для получения результата (3.41) должна раскрываться по формуле определителя матрицы 3 3.

П р и м е р 71. Найти вихрь напряж¼нности гравитационного поля Земли.

Напряж¼нность поля тяготения Земли в некоторой точке M (~r) это сила, действующая со стороны Земли на материальную точку единичной массы, помещ¼нную в эту точку

где m масса Земли, гравитационная постоянная, ~r радиус-вектор, провед¼нный из центра Земли в точку M .

В декартовой системе координат r = px2 + y2 + z2. Воспользуемся формулой (3.41). Вычисляем производные:

~

Следовательно, rot xF = 0. Точно так же доказывается равенство нулю двух других координат ротора. Таким образом,

тв¼рдое тело, вращающееся с угловой скоростью !~ вокруг неподвижной оси. Поле скоростей такого тела выражается формулой

~v = !~ ~r;

где ~r радиус-вектор точки тела. По формуле (3.41) находим

rot ~v = 2!:~

Более сложный характер имеет поле скоростей движущейся жидкости. Движение малого элемента жидкости складывается