Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

использовать тройку единичных взаимно ортогональных векторов ~e1, ~e2, ~e3 (такой базис называется ортонормированным), направленных вдоль осей Ox1; Ox2; Ox3 (рис.36), то координатами вектора ~a будут проекции этого вектора на выбранные оси. Покажем это с помощью следующих построений.

Через начало A и конец B вектора ~a проведем плоскости, перпендикулярные осям координат x1; x2; x3. Точки пересече- ния этих плоскостей с осями координат обозначим A1, A2, A3 è B1, B2, B3. На рис. 36 показаны также принадлежащие этим плоскостям отрезки: A12A1 è B12B1, перпендикулярные оси x1; A12A2 è B12B2, перпендикулярные оси x2; AA3, BB3, перпендикулярные оси x3; AA12 è BB12, перпендикулярные плоскости

Ox1x2.

ãäå ai; i = 1; 2; 3; проекции вектора на оси координат (см. рис. 36).

7.3. Направляющие косинусы. Направление вектора

~a относительно координатных осей Ox1; Ox2; Ox3 определяют с помощью направляющих косинусов вектора ~a

(a21 + a22 + a23)

Сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора ~a равна единице:

В этом легко убедиться, если возвести три равенства (1.77) в квадрат, сложить их и использовать формулу (1.76).

7.4. Угол между направлениями. Зная координаты вектора ~a в ортонормированном базисе, можно вычислить его проекцию на любое направление `. Для нахождения последней спроецируем обе части равенства (1.74) на ось `:

Заменим левую часть равенства (1.79), используя выражение (1.56) для проекции вектора на ось, а координаты a1; a2; a3 представим согласно формуле (1.75). После этого разделим полученное соотношение на a. В результате получим

dd

+cos(~a; ~e3) cos(~e`; ~e3):

Согласно свойствам (1.47) и (1.49), векторное равенство (1.10) эквивалентно трем скалярным, которые называются параметрическими уравнениями прямой:

z = z1 + n :

Если считать параметр за время, то уравнения (1.81) опре-

деляют закон движения м.т. из точки A(x1; y1; z1) по прямой с p

постоянной скоростью v = `2 + m2 + n2 .

ответствующая координата прямой не изменяется (прямая перпендикулярна соответствующей оси координат). Например, при

` = 0 будет x = x1 = const.

Для нахождения координатной формы уравнения прямой, проходящей через две различные точки, можно воспользоваться формулой (1.11): ~r = ~r1 + ~r2 при условии + = 1. Обозначим декартовые координаты точек M1(~r1) è M2(~r2) ÷å- ðåç (x1; y1; z1) è (x2; y2; z2) соответственно. Векторное равенство (1.11) эквивалентно трем скалярным:

Параметр во всех трех равенствах (1.83-1.85) один и тот же; выражая из этих трех равенств и приравнивая, получим

уравнение прямой, проходящей через две точки M1 è M2:

Уравнения прямой на плоскости, в формах, аналогичныx (1.81), (1.82), (1.86), получаются очевидным образом. Для этого достаточно положить одну из координат для всех точек равной нулю, например z = z1 = z2 = 0.

П р и м е р 20. Найд¼м уравнение прямой линии, проходя-

7.6.Определение векторной суммы методом проек-

чески это удобно выполнить следующим образом.

Нужно выбрать прямоугольную систему координат с осями, например x; y и z, и найти проекции каждого из складываемых векторов на эти оси. Проекциями на ось x будут P1x; P2x; P3x; : : : ; Pnx; íà îñü y P1y ; P2y ; P3y ; : : : ; Pny ; íà îñü z P1z ; P2z ; P3z ; : : : ; Pnz :

Проекция суммы векторов на любую ось равна алгебраиче- ской сумме проекций этих векторов на ту же ось (см. формулу (1.54)). Поэтому

~

а ориентация вектора P определяется направляющими косинусами

П р и м е р 21. На одну из вершин куба действуют пять численно равных сил таким образом, что три силы направлены вдоль ребер, сходящихся в этой вершине; четвертая сила по диагонали грани, а пятая вдоль диагонали самого куба. Опре-

AC квадрата ABCD (рис. 38), т.е. под углом 45 к осям x и

Задачи 28. Найти величину и направление суммы трех векторов в

декартовой системе координат ~v1 = ~e1 + 2~e2 3~e3; ~v2 = 2~e1 +

нат по биссектрисе первого координатного угла.

35.Даны три последовательные вершины параллелограмма ABCD: A(1; 2; 3), B(3; 2; 1), C(6; 4; 4). Найти четвертую вершину D.

36.Вектор составляет с осями Ox и Oy углы 60 и 120 : Какой угол он составляет с осью Oz?

острые углыp. Определить координаты вектора ~r, если его длина равна r = 2 3.

40. Радиус-вектор ~r точки M составляет с осями Ox и Oy углы соответственно 45 и 60 . Определить координаты точки M , если r = 6, и координата z отрицательна.

41. Отношение оснований AD и BC трапеции ABCD равно

! ! !

AD=BC = 2. Выразить вектор AD через AB и AC:

58 Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ

~ex + ~ey .

44.Определить углы ABC, если вершины треугольника имеют следующие координаты: A(2; 1; 3); B(1; 1; 1); C(0; 0; 5).

45.Найти угол между диагоналями параллелограмма, по-

~

строенного на векторах ~a = 2~ex + ~ey è b = 2~ey + ~ez .

46. На одну из вершин куба действуют пять численно равных сил таким образом, что три силы направлены вдоль ребер, сходящихся в этой вершине; четвертая сила по диагонали грани, а пятая вдоль диагонали самого куба. Взаимную ори-

Первый вектор направлен по горизонтали вдоль оси Ox вправо (ось Oy направлена вверх), а каждый из остальных образует с ним соответственно углы '2, '3, '4, '5. Определить модуль и направление геометрической суммы этих векторов. Значения fi (i = 1; 2; 3; 4; 5) è 'i, (i = 2; 3; 4; 5) взять из таблицы согласно двузначному номеру варианта mn, первая цифра которого m определяет величины векторов, а вторая цифра n углы. Результаты вычислений округлять до сотых долей единицы.

П р и м е р 22. Решим вариант 00 задачи 47.

Выпишем проекции складываемых векторов на оси Ox и Oy:

8.1. Cвойства скалярного произведения. Согласно определению (1.92), скалярное произведение обладает переместительным свойством

так как ни модули векторов, ни косинус угла между ними не зависят от такой перестановки множителей.

Сочетательное относительно числового множителя свойство скалярного произведения следует из свойства (1.55) проекции вектора на ось и формул (1.93) и (1.94):

Формулы (1.93), (1.94) и (1.54) позволяют легко доказать распределительное свойство скалярного произведения относительно суммы векторов:

Первое и четв¼ртое равенства в этой формуле есть следствия свойства (1.94), третье - формулы (1.93), а второе равенство обосновывается ранее доказанным свойством (1.54) проекции суммы векторов на ось, а именно: проекция суммы равна сумме проекций.

По определению (1.92) скалярного произведения

П р и м е р 23. Проверить, справедливы ли следующие равенства: