Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

П р и м е р 41. Закон равнопеременного движения.!

Если м.т. движется с постоянным ускорением ~a = const, то, интегрируя уравнение

d~vdt = ~a;

находим

ãäå ~v0 скорость м.т. в начальный момент времени t = 0.

_

Используя определение скорости ~v = ~r и интегрируя теперь по времени уравнение (2.35) с уч¼том того, что ~v0 является величиной постоянной, находим

Здесь ~r0 радиус-вектор материальной точки в начальный момент времени.

Ÿ 3. Оси естественного тр¼хгранника

Рассмотрим пространственную кривую, описанную радиус-

!

вектором ~r = OM , начало которого совпадает с началом координат точкой O, а концом является некоторая точка M (x; y; z). (см. рис. 54).

Возьмем на кривой M0M точки M0, M1, M2, : : :, Mn 1, M и, соединив их отрезками, получим ломаную линию

M0M1M2 : : : Mn 1M: (2.37)

Длиной s дуги M0M называется предел, к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей из

94 Глава 2. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

При уменьшении длины s дуги M M 0 длины отрезков M 0C и M C стремятся к значению R = lim "s , которое называется

радиусом кривизны кривой в точке M .

Величина K = 1=R = lim " есть кривизна кривой.

s!0 s

~e (s)

sin 2" 2" ; это выполняется тем точнее, чем меньше угол " (приs ! 0 угол " ! 0). Следовательно,

где T радиус кручения кривой, доказывается аналогично формуле (2.41).

Заметим, что

d~eb

ds ? ~eb:

96Глава 2. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

3.2.Скорость и ускорение в осях натурального триэдра. Отметим на траектории начальное положение м.т. M0 и положительное направление отсчета. Скалярная функция времени s(t) задает длину дуги траектории от начала отсчета M0 до того места M; где в данный момент времени t находится м.т. За бесконечно малый интервал времени dt м.т. совершает перемещение d~r; направленное по касательной к траектории, причем jd~rj = jdsj:

Найдем компоненты скорости и ускорения материальной точки в осях натурального триэдра.

Используя определение скорости материальной точки, правило дифференцирования (2.16) сложной вектор-функции и определение единичного вектора касательной к траектории

Таким образом, вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории и по абсолютной величине равен производной

нормальной составляющей.

Модуль ускорения на основании равенств (2.45-2.47) может

Рассмотрим два частных случая. Если v = const (равномерное движение по траектории), то

a = 0; ~a = an~en

ускорение м.т. (если оно не равно нулю) направлено по главной нормали к траектории.

Если движение прямолинейное, т.е. R = 1, то

an = 0; ~a = a ~e

скорость м.т. изменяется только по величине.

Как видно из формул (2.46) и (2.45), в системе осей натурального триэдра скорость имеет одну составляющую разложения, а ускорение две. В этом состоит преимущество натурального триэдра перед другими системами координат.

П р и м е р 42. Точка движется по окружности радиуса R: Ускорение образует с ее скоростью постоянный угол : Найти зависимость скорости v от времени, если в начальный момент времени t = 0 она равнялась v0:

Решение. Очевидно, что an =6 0 для любого t и, следовательно, v0 =6 0: В противном случае движение было бы по прямой, а не по окружности. По этой же причине 6= 0:

vR2 dvdt = ctg :

После разделения переменных и интегрирования полученного

98 Глава 2. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

уравнения находим

v0

v = 1 v0 t ctg =R :

Åñëè = 90 ; òî v = v0: При < 90 движение по найденному закону возможно в интервале 0 t < R=(v0 ctg ):

П р и м е р 43. Положение материальной точки определяется радиус-вектором:

~r = A cos Bt2~ex + A sin Bt2~ey ;

ãäå A = 3ì; B = 2ñ 2: Найти: уравнение траектории; скорость и ускорение м.т.; закон движения по траектории s(t); отсчитывая расстояние от начального положения точки; тангенциальное и нормальное ускорения; радиус кривизны в момент времени t = 2c:

Решение. 1)Для нахождения уравнения траектории нужно выразить координаты x = A cos Bt2 è y = AsinBt2 друг через друга. Чтобы исключить время из уравнения движения, возведем их в квадрат:

и сложим. Получим x2 + y2 = A2 материальная точка движется по окружности радиуса R = 3м:

2) Скорость м.т.

x = 2ABt sin Bt2; y = 2ABt cos Bt2;

и, следовательно, v = 2ABt:

Проекции ускорения на оси X и Y равны:

x• = 2AB(sin Bt2 + 2Bt2cos Bt2); y•= 2AB(cos Bt2 2Bt2sin Bt2);

и, следовательно,

a2 = x•2 + y•2 = 4A2B2(1 + 4B2t4):

00

4)Тангенциальное ускорение

a = v = 2AB = 12(ì/ñ2):

Значит, нормальная составляющая ускорения

q

an = a2 a2 = 4AB2t2(ì/ñ2):

5) Так как точка движется по окружности, то радиус кривизны у нее в любой момент времени один и тот же, и в данном случае R = 3м: Покажем это еще раз, используя формулу (2.47) для нормального ускорения. Разрешим ее относительно радиуса кривизны траектории

R = v2 = 3(ì); an

что и требовалось показать.

3.3. Вычисление кривизны пространственной кривой. Если уравнение кривой задано в декартовой системе координат ~r = ~r(s) = x(s)~ex + y(s)~ey + z(s)~ez , то ее кривизна, согласно формуле (2.41), может быть вычислена по формуле

Рассмотрим теперь случай, когда радиус-вектор ~r является функцией произвольного параметра . В этом случае длину дуги s будем рассматривать как функцию параметра . Используя правило (2.16) дифференцирования сложной вектор-функции, имеем

100 Глава 2. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

Для упрощения последующих записей некоторых формул, содержащих производные, последние будем обозначать тем же символом, что и сами функции, но с двумя индексами. Порядок производной отмечается числом штрихов, используемых в качестве верхнего правого индекса, а переменные, по которым ведется дифференцирование, используются как нижние правые индексы. Подобная форма записи нами уже использовалась на стр. 85. Например, формула (2.50), таким образом, запишется

â âèäå

~r 0 = ~rs0 s 0:

Умножим обе части этого равенства скалярно на себя и

Дифференцируем обе части этого равенства по и сокращаем на два:

Отсюда можно найти вторую производную от радиус-векто- ра ~r по s: