Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

Первое равенство несправедливо, т.к. произведение вектора ~a на скаляр a представляет вектор, коллинеарный вектору ~a, а вектор не может быть равен скаляру. То же самое можно сказать про третье равенство.

Четвертое и восьмое равенства справедливы, только если

~

векторы ~a и b коллинеарны.

Второе и пятое равенства, согласно свойству (1.97), справедливы всегда.

Наконец, справедливость равенств 6) и 7) доказывается на основании свойств (1.94) и (1.96).

8.2. Евклидовое пространство. Произвольное линейное пространство называется евклидовым, если установлено правило по которому любым двум элементам a и b ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое a b, причем для него справедливы правила, аналогичные (1.94-1.97), а именно:

a b = b a;

( a ) b = (a b);

ABC, показанный на рис. 39. Длины сторон, противолежащих вершинам A; B; C; обозначены соответственно буквами a; b; c. Длина стороны треугольника a выражается через длины b и c двух других сторон и противолежащий угол 6 A 6 BAC по формуле

!2 ! ! ! ! !2 !2 ! !

BC = (AC AB) (AC AB) = AC + AB 2AC AB:

Последнее равенство, согласно определению скалярного произведения, есть не что иное, как формула (1.98).

~

П р и м е р 24. Найти величину равнодействующей R двух

~ ~

сил P и Q, приложенных к одной точке под углом 120 , причем

P = 7 è Q = 4.

П р и м е р 25. Вертолет летит из пункта A в пункт B и обратно по кратчайшему пути и затрачивает на весь полет в безветренную погоду 100 минут. При постоянном ветре, дующем в направлении от A к B, вертолет затрачивает на прохождение того же маршрута 121 минуту. Каково минимальное время полета по указанному маршруту при постоянном ветре той же силы?

Решение. Обозначим: ~v1A è ~v1B собственная скорость вертолета при полете из пункта A в B и из пункта B в A соот-

ветственно (v1A = v1B = v1); ~v2 скорость ветра; угол

!

между направлением ветра и вектором AB (см. рис. 41); ~vAB

скорость движения вертолета из пункта A в пункт B; ~vBA

скорость движения в обратном направлении; d расстояние между пунктами A и B; t1 = 100ìèí; t2 = 121ìèí:

По теореме косинусов для треугольника скоростей в точке A имеем

v12 = v22 + vAB2 2v2 vAB cos ;

ãäå k = v2=v1 .

Очевидно, время полета есть функция угла направления ветра. В частности, если ветер отсутствует, т.е. v2 = 0, то по формуле ( ) имеем t1 = 2d=v1 : Если ветер дует в направлении из A в B, т.е. = 0, то время полета равно

t2 = t1=(1 k2): ( )

Время полета минимально, когда числитель дроби в формуле ( ) имеет наименьшее значение, то есть при = 2

называется тройка единичных взаимно ортогональных векторов ~e1, ~e2, ~e3; для них справедливы равенства:

~e1 ~e1 = ~e2 ~e2 = ~e3 ~e3 = 1; ~e1 ~e2 = ~e2 ~e3 = ~e1 ~e3 = 0:

С учетом свойств (1.95) и (1.96) скалярное произведение

~

двух векторов ~a и b в ортонормированном базисе выражается через их координаты aj è bj (j = 1; 2; 3) формулой:

~

~a b = (a1~e1 + a2~e2 + a3~e3) (b1~e1 + b2~e2 + b3~e3) =

П р и м е р 26. Вычислим скалярное произведение двух векторов p~ и ~q, зная их разложение по трем единичным взаим-

Решение. По формуле (1.99) находим

p~ q~ = 3 1 + 1 ( 4) + ( 2) ( 5) = 9:

~

П р и м е р 27. Вычислим длину вектора p~ = ~a + b + ~c,

~

если ~a; b и ~c некоторые взаимно перпендикулярные векторы. Решение. Согласно (1.100):

q

jp~j = j a~ea + b~eb + c~ec j = ( a)2 + ( b)2 + ( c)2 :

Из определения скалярного произведения (1.92) и формул (1.99), (1.100) находим выражение для косинуса угла между

~

векторами ~a и b, если последние заданы в ортонормированном базисе:

П р и м е р 28. К о с и н у с с у м м ы д в у х у г л о в. Возьмем

~

в плоскости xy два вектора единичной длины ~a и b, составляющие с осью x соответственно углы и (рис. 42). Применим формулу (1.101) для нахождения косинуса угла между векторами. Получим

66 Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ

чим уравнение первой степени относительно координат точки

это и есть искомое уравнение плоскости в декартовой системе координат. Здесь коэффициенты A; B; C; D выражаются через координаты точек M и N :

A = xN xM ; B = yN yM ; C = zN zM ; D = (xM xN )xM + (yM yN )yM + (zM zN )zM :

Если плоскость проходит через начало координат, то сво-

бодный член D в формуле (1.105) равен нулю. Если один из

!

коэффициентов A, B или C равен нулю, то вектор M N перпен-

дикулярен соответственно оси x, y или z, и плоскость параллельна этой оси координат.

П р и м е р 30. Р а с с т о я н и е о т т о ч к и д о п л о с к о с т и. Для любой точки K(~r) плоскости p правая часть уравнения (1.103) является некоторой постоянной величиной :

Геометрический смысл этого равенства состоит в том, что проекция вектора ~r на направление вектора ~a для всех точек K(~r) плоскости p одна и та же.

Напишем уравнение перпендикуляра, опущенного на плоскость p из точки M1(~r1). Для этого применим уравнение (1.10) к прямой, проходящей через точку M1(~r1) параллельно вектору

где переменный параметр, пробегающий все значения. Найдем точку пересечения этого перпендикуляра с плоскостью, для чего надо совместно решить уравнения (1.106) и (1.107).

Получим:

= ~r1 ~a : a2

Перпендикуляр представляется вектором ~a, а его длина

Например, расстояние d0 от начала координат до плоскости выражается формулой

Задачи

48. ~

Доказать, что скалярное произведение векторов ~a и b, заданных своими координатами a1; a2; a3 è b1; b2; b3 в косоугольном базисе из единичных векторов ~e1; ~e2 è ~e3; выражается формулой

49. Доказать, что длина вектора ~a, заданного своими координатами a1; a2; a3 в косоугольном базисе из единичных векторов ~e1; ~e2 è ~e3; выражается формулой

a2 = a2x + a2y + a2z + 2axay cos(~e1; ~e2 ) +

50. Дать геометрическое толкование следующего тождества:

51.Доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

52.Какой угол составляют между собой два вектора

53. Какой угол составляют между собой два одинаковых по

~ ~

длине вектора ~a и b, если известно, что вектор ~a + 3b перпенди-

~

кулярен вектору 7~a 5b?

54.Какую поверхность описывает уравнение ~r (~r 2~a) = 0, где ~a заданный вектор?

55.Используя условие и решение предыдущей задачи, доказать, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр окружности, равен 90 .

Ÿ 9. Векторное произведение векторов

~

Векторное произведение двух векторов ~a и b, которое мы

~

будем обозначать в виде ~a b, это вектор, длина которого равна

где ~r радиус-вектор, провед¼нный из O в точку приложения

~

кратчайшее расстояние от т.O до линии действия силы F , называемое плечом силы.

Момент ~ количества движения материальной точки

KO

m~v относительно точки O есть

~

KO = ~r (m~v);

где ~r радиус-вектор, определяющий положение м.т. относительно O.

9.1.Свойства векторного произведения. Согласно

определению векторного произведения:

1) модуль векторного произведения численно равен площади

~ параллелограмма Sab, построен- b

ного на перемножаемых векто-

~

рах ~a и b, как на сторонах (рис. 45)

4) сочетательное относительно числового множителя свойство:

5) распределительное относительно суммы векторов свойство:

9.2. Векторное произведение в ортонормированном базисе. На рисунках 46a и 46b представлены два ортонормированных базиса, симметричные относительно плоскости, параллельной векторам ~e1 è ~e3.

Базис рис. 46a принято называть левым.

В дальнейшем, если только противное не будет оговорено особо, мы будем пользоваться правыми базисами.

Учитывая свойства (1.117), (1.118) и равенства (1.119), нетрудно получить следующее выражение для векторного произведения в ортонормированном базисе:

~

~a b = (a2b3 a3b2)~e1 +(a3b1 a1b3)~e2 +(a1b2 a2b1)~e3: (1.120)

П р и м е р 32. У р а в н е н и я п р я м о й, проходящей через две заданные точки, ранее уже было нами получено в параграфе 2 и представлено в координатной форме записи в разделе 1.5. Применим теперь к выводу уравнения прямой понятие векторного произведения.

коллинеарными. Значит,