Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

Ÿ 1. Геометрическое понятие вектора

11

1.6.

Сложение векторов.

Ï ð à â è ë î

ò ð å ó ã î ë ü í è-

к а: сумма двух векторов ~a

~

и b (рис. 4a) одинаковой физической

~

размерности это вектор ~c = ~a + b; определяемый по правилу

a)

~a

~

треугольника (рис. 4b), т.е. вектор,

b

идущий из начала вектора ~a в конец

~

~

вектора b, если последний параллель-

b

ным переносом совмещен своим нача-

b)

~a

~

лом с концом вектора

~a.

~a + b

~

Аналогичный результат для сум-

~

b + ~a

получается при построении

c)

~

~a

ìû ~a + b

b

ïî ï ð à â è ë ó ï à ð à ë ë å ë î ã ð à ì ì à

(рис. 4d): если параллельным перено-

d)

~a

~

сом совместить начала векторов ~a и

~a + b

~

~

b,

то сумма ~a + b это вектор, про-

~

веденный из общего начала векторов ~a

b

Ðèñ. 4

~

и b по диагонали параллелограмма, по-

строенного на векторах ~a

~

2

.

и b как на сторонах

~

По определению векторной суммы, если векторы ~a и b не

коллинеарны, то вектор

~

(1.3)

~c = ~a + b

14

Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ

ãäå ~sn 1 сумма первых (n 1) векторов.

Это эквивалентно следующему геометрическому

построе-

!

,

нию. Из произвольной точки O (рис. 6b) проводим вектор OA1

1

, затем из точки A

1

!

,

равный вектору ~a

проводим вектор A1A2

2

!

:

равный ~a

: По правилу треугольника находим вектор OA2 = ~s2

Далее из точки A

2

!

, равный ~a3

; è íàõî-

проводим вектор A2A3

~a1

A3

A2

~an

An

~s3 ~s2

~a2

~sn

A1

~a3

~c ~a

~c

a)

O

b)

~

~

b

b

Ðèñ. 6

Ðèñ. 7

Вектор OAn представляет собой сумму векторов

!

дываемые векторы ~a1; ~a2; ~a3; : : : ; ~an:

1.9.

Разность векторов

~

~a и b это такой вектор ~c, ко-

~

торый при сложении с вектором b дает вектор ~a (рис. 7). Иначе

говоря,

~

~

~

~c = ~a b это сумма векторов ~a и

b; ãäå

b вектор

~

~

противоположный b (он получается из b умножением на -1).

П р и м е р 1. Выясним, какие ограничения накладывают

~

на векторы ~a и b следующие соотношения:

~

~

~

~

1) j~a + bj = j~a bj; 3) j~a + bj = j~aj + jbj;

~

~

~

~

2) ~a + b = "(~a b); 4) j~a bj = j~aj jbj:

~

b это векторы, направленные по диагоналям параллелограм-

ма, построенного на векторах ~a и

~

b, как на сторонах. Сумма

~

~

Ÿ 1.

Геометрическое понятие вектора

15

Первое из рассматриваемых соотношений означает, что ди-

агонали

имеют

одинаковую длину. Значит, параллелограмм

~

взаимно перпен-

является прямоугольником, т.е. векторы ~a и b

дикулярны.

Из второго равенства следует колли-

~

~

неарность векторов ~a и b. Только в этом

a)

~a

случае диагонали параллелограмма па-

~a + b

~

раллельны друг другу.

b

Длина одной из сторон треугольника

~

равна сумме длин двух других сторон b)

~a

~

~a b

вот смысл третьего соотношения. Это

b

B

C

возможно лишь при одинаковой направ-

M

ленности векторов

~

c)

~a

~a è b.

Наконец, в четвертом случае векто-

A

~

D

~

ðû

~a

направлены в противополож-

b

è

b

ные стороны.

Ðèñ. 8

П р и м е р 2. В параллелограмме ABCD (смотри рис. 8c)

обозначены: !

!

~

точка пересечения диагона-

AB = ~a; AD = b è M

~

векторы

! !

лей параллелограмма. Выразим через ~a и b

! !

M A; M B;

M C; M D:

~

По правилу сложения векторов

AC = ~a+b, и, следовательно,

!

!

2

!

2

!

2

!

2

~

~

M A =

1

AC =

1

Аналогично M B =

1

DB =

1

(~a + b):

(~a b):

Наконец, !

!

2

~

!

!

2

~

M C = M A =

1

è M D = M B =

1

(~a + b);

(b ~a):

1.

~

Какому условию должны удовлетворять три вектора ~a, b,

2. Доказать неравенство

~

~

(1.9)

j~a + bj j~aj + jbj:

16

Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ

5. Пусть A0; B0; C0

середины сторон ABC; а O произ-

вольная точка. Доказать равенство

!0

!0

!0

=

OA +

OA

+ OB

+ OC

!

OB + OC:

!

!

6. На плоскости заданы векторы

~

~

~

F1; F2

,...,F10 (ðèñ.11). Íàé-

òè: 1)

~

~

~

~

~

~

~

~

:

F1

+ F2

+ F3

; 2)F6 F1

; 3)F1 + F2

+ : : : + F10

~

C

F4

~

~

L

~

~c

F2

Ðèñ. 9

b

F7

~

F10

~a

B

~

K

F3

B

~

O

~

F8

F5

C0

A0

Ðèñ. 11

A

G

~

F1

Ðèñ. 10

~

F9

~N

A

B

0

C

D

E

F6

7. Какому условию должны удовлетворять векторы

~

~a è b,

~

чтобы угол между векторами ~a + b и ~a был в два раза меньше,

~

чем между ~a и b?

AB = ~c и BC = ~a; служащие сторонами

8.

Зная векторы !

!

треугольника ABC, найти векторы, коллинеарные биссектри-

~

9. Из трех произвольных векторов ~a; b и ~c образованы век-

òîðû

~

~

~

~

~

A

= ~c b;

B = ~a ~c;

C

= b ~a: Доказать

~ ~

~

при любых не равных нулю

компланарность векторов A; B и C

числах ; ; .

Указание. Найти такие числа "1

è "2, с помощью которых один из

~

~

~

векторов, например A, можно выразить через два других B

è C:

~

~

~

Ÿ 2.

Примеры векторов

17

!

12. В правильном шестиугольнике ABCDEF известны

!

~

~

! !

AB = p~ и AE = f : Выразить через p~ и f

векторы: AC; AD;

! !

AF ; EF :

ð å ç ò î ÷ ê ó A(~a), ï à ð à ë ë å ë ü í î

~

â å ê ò î ð ó b, åñòü

~

(1.10)

~r = ~a + b;

Справедливость формулы (1.10) пока-

жем с помощью следующих построений.

~

~

M

Отложим из точки O векторы b и ~a. Через

A b

точку A проведем прямую параллельно

~

~a

~r

вектору b, как это показано на рис.12. По-

ложение произвольной точки M , принад-

~

O

b

лежащей данной прямой, зададим радиус-

Ðèñ. 12

вектором ~r.

Вектор !

~

AM по построению коллинеарен вектору b, следова-

~

тельно, его можно представить в виде произведения b и подхо-

~

AM = b. Согласно пра-

дящим образом выбранного числа : !

~

вилу треугольника имеем

AM = ~r ~a = b; что и дает искомое

!

18

Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ

M1

M2 M

~r = ~r1 + ~r2:

(1.11)

~r1

~r2

~r

Выясним, какими должны быть числа

и , чтобы три точки M1(~r1); M2(~r2) è M (~r),

O

связанные равенством (1.11), лежали на од-

Ðèñ. 13

ной прямой.

любых и .

Рассмотрим теперь более общий случай, когда векторы ~r1 è

~r2

не коллинеарны, как это и изображено на рис.13.

!

!

~r1 лежат на одной

Векторы M1M2 = ~r2

~r1 è M1M = ~r

прямой. Следовательно,

~r ~r1 = (~r2 ~r1):

(1.12)

~r = (1 )~r1 + ~r2:

(1:100)

+ = 1:

(1.13)

Ÿ 2. Примеры векторов

19

Очевидно, что длину отрезка M1M2 можно представить в

1

2

1

2

1

!

âèäå M

M

= M

M + M M

=

1 +

M

M: Векторы M1M è

!

направлены в одну сторону, поэтому данное равенство

M1M2

!

!

èëè ( +

можно заменить на векторное: ( + )M1 M = M1M2

)(~r ~r1) = (~r2 ~r1):

Разрешая последнее уравнение относи-

тельно ~r; находим

M1

M M2

~r =

~r1 + ~r2

:

(1.14)

+

~r1 ~r

~r2

В частности, радиус-вектор середины от-

O Ðèñ. 14

резка ( = = 1=2) выражается форму-

ëîé

1

(1.15)

~r =

(~r1 + ~r2):

2

Пусть вершины A, B и C ABC опре-

B

деляются векторами ~rA; ~rB ; ~rC : Обозначим

C0

A0

середины сторон ABC, противолежащих

вершинам A; B и C; соответственно буква-

ìè A0; B0 è C0 (ðèñ.15).

A

B0

C Выпишем радиус-векторы этих точек в

Ðèñ. 15

соответствии с формулой (1.15):

A0: ~rA0 =

1

(~rB + ~rC ); B0: ~rB0 =

1

(~rA + ~rC ); C0: ~rC0 =

1

(~rA + ~rB ):

2

2

2

20

Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ

(1 )~rA +

(~rB + ~rC ) = (1 )~rC +

(~rA + ~rB ):

2

2

1 2

~rA +

2

2

~rB +

2

1 + ~rC = ~0: (1.16)

r =

1

(~rA + ~rB + ~rC ):

(1.17)

3