Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

Элементы a, определяемые формулой (1.38), образуют линейное пространство, в котором

a = + ; a 1 + a 2 = ( 1 + 2) + ( 1 + 2) ;

и нулевым элементом является 0 = 0 + 0 = 0:

3.2. Размерность и базис линейного пространства.

Линейная комбинация векторов a 1; a 2; :::; a n это сумма их произведений на некоторые числа 1; :::; n :

1a 1 + 2a2 + ::: + na n:

Векторы a 1; a 2; :::; a n линейно зависимы, если нулевой вектор можно представить в виде их линейной комбинации

âкоторой не все коэффициенты i (i = 1; :::; n) равны нулю.

Ïр и м е р 14. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов ~c и ~a является их линейная зависимость.

Действительно, если ~c и ~a коллинеарны, то ~c = ~a; или ~c

~

~a = 0, что, согласно определению (1.39), как раз и означает линейную зависимость векторов ~a и ~c.

~

И наоборот, если ~c и ~a линейно зависимы, то 1~c + 2~a = 0, и хотя бы один из коэффициентов 1, 2 не равен нулю. Пусть1 =6 0, тогда из последнего уравнения можно выразить вектор ~c через ~a: ~c = ( 2= 1)~a это значит, что ~c и ~a коллинеарны.

П р и м е р 15. Необходимым и достаточным условием ком-

~

планарности тр¼х векторов ~a, b, ~c является их линейная зависимость (см. формулу (1.3)).

Если равенство (1.39) выполняется только при 1 = 2 =

::: = n = 0, то векторы a 1; a 2; :::; a n линейно независимы.

Пространство L называется конечномерным, а число n числом измерений этого пространства, если в L существует n линейно независимых векторов, тогда как любые n+1 векторов в L линейно зависимы.

Система из n линейно независимых заданных в определенном порядке векторов в n-мерном пространстве L

называется базисом пространства L.

Всякий вектор a 2 L можно единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных векторов b i

(i = 1; :::; n). Действительно, уравнение

должно иметь нетривиальное решение (n + 1 вектор в n-мерном пространстве!).

В этом уравнении 0 6= 0, в противном случае мы получили бы нетривиальное решение уравнения

1b1 + ::: + nbn = 0;

вопреки предположению, что векторы b i (i = 1; :::; n) образуют базис. Так как 0 =6 0, уравнение (1.41) можно разрешить относительно a:

ãäå i = i= 0 (i = 1; :::; n).

Числа 1; 2; : : : ; n, с помощью которых вектор a представляется в виде линейной комбинации (1.42), называются координатами вектора a в базисе (1.40).

Покажем теперь, что координаты вектора в данном базисе определяются однозначно. Предположим противное: пусть существует по крайней мере еще одно представление вектора a в

откуда в силу линейной независимости векторов базиса следует

i = i0; i = 1; : : : ; n;

что и требовалось доказать.

П р и м е р 16. Рассмотрим размерности и базисы некоторых линейных пространств из примеров 10-13.

1)Множество действительных чисел R одномерное, в каче- стве базисного вектора может использоваться любое действительное число, не равное нулю.

2)Множество комплексных чисел C двухмерное, в качестве базисных векторов могут использоваться, например, два комплексных числа z 1 = (1; 0) è z 2 = (0; 1).

3)Множество квадратных матриц размерности 2 2 че- тырехмерное линейное пространство. Пример базиса этого про-

странства:

4) Множество многочленов (1.38) двухмерное линейное пространство. В качестве линейно независимых многочленов (базиса) можно взять 1 и . Тогда координатами будут числа

è .

Если выбрать, например, базис (1 + ); (1 ), то

Теперь координатами элемента a в новом базисе являются ( +

)=2 è ( )=2.

Задачи 17. Проверить выполнение свойств 1.29-1.36 для множества

ного пространства множества многочленов 0 + 1t + : : : +n 1tn 1, где в качестве основных операций берутся обычное сложение многочленов и умножение многочлена на число.

Геометрические векторы, складываемые по правилу параллелограмма, как было показано в предыдущем параграфе, являются примером линейного пространства. Поэтому всякий вектор ~a можно единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных векторов. И задача единственного разложения вектора сводится к выбору подходящего базиса.

4.1.Векторный базис. В тр¼хмерном пространстве

векторный базис образует любая тройка некомпланарных век-

в котором хотя бы один из числовых коэффициентов не равен

Отсюда (сравни с условием (1.3)) следует компланарность век-

~ ~ ~

торов b1; b2; b3, что противоречит исходному условию. Следовательно, всякий вектор ~a может быть единствен-

ным образом разложен на три составляющие, параллельные

где числа a1; a2 è a3 называются координатами вектора ~a в

~ ~ ~

базисе b1; b2; b3.

Докажем однозначность определения координат вектора ~a в разложении (1.46). Если предположить противное, то есть су-

разложение (1.46) единственно.

Для геометрического нахождения координат вектора нужно поступить следующим образом. Отложим все четыре вектора ~a;

плоскости, параллельные граням трехгранного угла, образован-

~ ~ ~

ного векторами b1; b2; b3: Эти плоскости, линии пересечения которых с гранями трехгранного угла показаны на рис. 25 штри-

являются составляющими вектора ~a. В результате получается

4.2. Свойства координат вектора. Один и тот же вектор в разных базисах обладает различными координатами. Отметим три важных свойства координат векторов, которые не зависят от выбора базиса и непосредственно следуют из единственности разложения вектора по трем базисным векторам, а именно:

1) если два вектора равны друг другу, то их координаты в одном и том же базисе равны между собой, и наоборот, из равенства координат двух векторов следует равенство самих векторов:

2) Координаты геометрической суммы нескольких векторов равны алгебраическим суммам координат слагаемых векторов.

ãäå Aj ; Bj ; Cj ; : : : ; Gj (j = 1; 2; 3) координаты векторов в ба-

j=1

~

Базисные векторы bj линейно независимы. Значит, равенство (1.48) возможно только, если выражения, стоящие в круглых скобках, будут равны нулю. Итак доказали, что

смотрим множество векторов, лежащих в некоторой плоскости. Возьмем в качестве базисных векторов любые два неколлине-

компланарный той же плоскости.

~

Очевидно, что третья координата любого вектора f из рассматриваемого множества в данном базисе будет равна нулю, и