Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

П р и м е р 81. Вычислить rot (~c ~r); где ~c постоянный вектор.

rot (~c ~r) = ~c div ~r ~r div ~c + @~r@~c @~r@~c = 3~c ~c = 2~c:

П р и м е р 84. Вычислить div (rn~c); где ~c постоянный вектор.

Используя формулу (3.77), находим

182 Глава 3. ФУНКЦИИ ТОЧКИ

Здесь использовали свойство смешанного произведения, которое при циклической перестановке перемножаемых векторов не изменяется, а при других перестановках меняет знак.

П р и м е р 87. Вычислить div (~c ~r); где ~c постоянный вектор.

~ ~

rot ~r = 0; rot ~c = 0, поэтому по формуле (3.78), имеем

div (~c ~r) = 0:

П р и м е р 88. Расхождение поля скоростей точек абсолютно твердого тела.

Скорость ~v любой точки т.т. выражается через скорость полюса O и угловую скорость !~ т.т. формулой

~v = ~vO + !~ ~r:

Угловая скорость !~ для всех точек т.т. одинакова. Следовательно, (см. п р и м е р 87) div (!~ ~r) = 0; и

div ~v = div ~vO + div (!~ ~r) = 0:

П р и м е р 89. Расхождение поля ускорений точек абсолютно твердого тела

_

~a = ~aO + !~ ~r + !~ (!~ ~r):

Используя результаты п р и м е р о в 81 и 87 и формулу (3.78), находим

_

div ~a = div ~aO + div (!~ ~r) + div (!~ (!~ ~r)) =

__ _

=div ~aO +~r rot !~ !~ rot !~ + (!~ ~r) rot !~ !~ rot (!~ ~r) =

=0 + 0 0 + 0 2!2 = 2!2:

grad (~a b ) = r(~a b ) = r(~a b ) + r(~a b ):

п р и м е р а 79, по формуле (3.79) находим

grad (~c ~r) = ~c:

5.5. Дифференциальные операции второго порядка получаются в результате двукратного применения опера-

так как смешанное произведение трех векторов равно нулю, если в нем два вектора одинаковы. В данном случае вектор r входит в смешанное произведение дважды.

Этот результат соответствует свойству векторного произведения: вектор, умноженный сам на себя векторно, дает нульвектор.

Дадим подборку формул для основных дифференциальных операций в некоторых, наиболее часто используемых, криволинейных ортогональных системах координат. Будем считать, что

~

U и P соответственно скалярная и векторная функции точки.

~ ~

Функции grad U , div P , rot P в произвольной криволинейной ортогональной системе координат определяются соответственно формулами (3.18), (3.62), (3.40). Привед¼м их здесь ещ¼ раз:

Из (3.18), (3.62), (3.40) и (3.84) следуют, в частности, формулы (3.19), (3.63), (3.41), (3.71) для градиента, расхождения, вихря и оператора Лапласа в декартовой системе координат.

6.1. Система цилиндрических координат. Цилиндрические координаты , ' и z связаны с декартовыми координатами x, y, z соотношениями (см. рис.60)

x = cos '; y = sin '; z = z:

Координатные поверхности данной системы: круговые цилиндры с осью вращения Oz, плоскости, перпендикулярные оси Oz, и полуплоскости, проходящие через Oz. Уравнениями координатных поверхностей в декартовой и цилиндрической системах координат соответственно являются

Коэффициенты Ламе: H = 1; H' = ; Hz = 1. Квадрат элемента длины равен

ds2 = d 2 + 2d'2 + dz2 :

Согласно формулам (3.18), (3.62), (3.40) и (3.84) получаем

6.2. Сферическая система координат. Сферические координаты r, , ' (рис. 61) связаны с декартовыми равенствами

x = r sin cos '; y = r sin sin '; z = r cos :

Координатные поверхности: сферы радиуса r с центром в т. O

x2 + y2 + z2 r2 = 0; r = const;

круговые конусы с вершиной O, образующие которых составляют с осью Oz угол ,

x2 + y2 = z2 tg2 ; = const;

и полуплоскости, проходящие через Oz под углом ' к плоскости xOz,

y=x = tg '; ' = const:

Коэффициенты Ламе: Hr = 1; H = r; H' = r sin . Квадрат элемента длины

ds2 = dr2 + r2d 2 + r2 sin2 d'2 ;

и основные дифференциальные операции

6.3. Система параболических цилиндрических координат. Координаты , , z связаны с декартовыми коор-

динатами соотношениями

На рис. 92 представлены параболы двух семейств взаимно ортогональных софокусных (фокус в на-

y чале координат т. O) парабол. Ось Oz перпендикулярна плоскости Oxy. Если перемещать показанные на рисунке параболы таким образом, чтобы их фокусы оставались на оси Oz,

xто получим две системы взаимно ор-

тогональных параболических цилиндров (с образующими, параллельными оси z).

Третья система координатных поверхностей, ортогональная указанным параболоидам, состоит из плоскостей, параллельных Oxy. Уравнениями координатных поверхностей являются:

динаты , , связаны с декартовыми координатами соотно-

Координатными поверхностями являются две системы взаимно ортогональных параболоидов, которые получаются при вращении фигуры на рис. 92 вокруг оси Oy, и полуплоскостей, проходящих через ось вращения:

ds2 = c2( 2 + 2)(d 2 + d 2) + c2 2 2d 2:

p

Положим = 2 + 2, тогда основные дифференциальные операции можно записать в виде

6.5. Система эллиптических цилиндрических координат. На рис. 93 показаны по одному представителю двух взаимно ортогональных семейств софокусных эллипсов и ги-

пербол с осями Ox и Oy.

При параллельном переносе по перпендикуляру к плоскости ри- y сунка (вдоль оси Oz) рассматриваемые эллипсы и гиперболы опишут эллиптические и гиперболи- ческие цилиндры, образуя две системы взаимно ортогональных ко-

xординатных поверхностей. Третья система координатных поверхно-

стей состоит из плоскостей, параллельных плоскости Oxy.

Уравнения координатных поверхностей в декартовой и эллиптической цилиндрической системах имеют вид

Координаты , ', z эллиптической цилиндрической системы связаны с декартовыми координатами x, y и z соотношениями

x = a ch cos '; y = a sh sin '; z = z: