Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

Здесь dN это поток векторного поля через элементарную замкнутую поверхность, ограничивающую элементарный объ¼м dV .

~

Величина div P есть локальная, точечная характеристика

~

распределения источников и стоков в данном поле P . Согласно определению (3.56), дивергенция векторного поля,

вычисленная в точке M , приближ¼нно равна потоку, выходящему из единицы объ¼ма, окружающего эту точку.

Отметим два очевидных свойства расхождения для суммы полей и произведения векторного поля на произвольную постоянную k:

4.1. Расхождение в ортогональной системе координат Построим на координатных линиях q1, q2, q3 криволинейной ортогональной системы координат, проходящих через точку M , элементарный параллелепипед M N KLM 0N 0K0L0 (ñì. ðèñ. 91).

Если координаты точки M обозначить через q1M , q2M , q3M , то гранями рассматриваемого параллелепипеда являются участки координатных поверхностей:

q1 = q1M ; для грани M N KL; q1 = q1M + q1; для грани M 0N 0K0L0;

q2 = q2M ; для грани M M 0L0L; q2 = q2M + q2; для грани N N 0K0K;

4От латинского слова divergence расхождение, этот термин был пред-

ложен Клиффордом в 1878 г.

q3 = q3M ; для грани M M 0N 0N ; q3 = q3M + q3; для грани LL0K0K:

Площадь элементарной площадки, перпендикулярной первой координатной оси, выражается через коэффициенты Ламэ по формуле d 1 = H2H3dq2dq3. Следовательно, поток векторного поля через эту грань, используя теорему о среднем, можно

= P1H2H3(q1M + q1; q2; q3) q2 q3;

ãäå P1H2H3(q1M + q1; q2; q3) обозначает значение функций P1, H2, H3 (их произведения) в некоторой ½средней\ точке поверхности 1 с координатами q1M + q1, q2 è q3.

Аналогично, для поверхности 2 с вершинами M , N , K, L единичным вектором внешней нормали является ~e1, и поток равен

= P1H2H3(q1M ; q2; q3) q2 q3:

Строго говоря, усредн¼нные значения q2 è q3 в формуле для потока N2 могут быть не теми же самыми, что для потока N1.

Но чем меньше будут площади поверхностей 1 è 2, тем меньше возможные различия для второй и третьей координат усредн¼нных точек на этих поверхностях.

По формуле Лагранжа

P1H2H3(q1M + q1; q2; q3) P1H2H3(q1M ; q2; q3) =

ãäå q1 2 (q1M ; q1M + q1), поэтому суммарный поток векторного поля через указанные две грани

Точно так же можно показать, что поток векторного поля

~

P через две грани параллелепипеда, перпендикулярные линии q2, равен

~

а поток P через две грани параллелепипеда, перпендикулярные оси q3, åñòü

~

Вычислим теперь расхождение векторного поля P в точке M . Для этого сложим потоки (3.59), (3.60) и (3.61), найд¼м предельное значение полученного выражения, когда объ¼м параллелепипеда стягивается в точку M , и, наконец, разделим его на элементарный объ¼м

~

Если поле потенциально, то в односвязной области P = grad U . Тогда

~

div P = div grad U = 0:

Последнее равенство есть уравнение Лапласа, которое в декартовой системе координат имеет вид

Поэтому векторное поле, удовлетворяющее условиям (3.66), называется лапласовым и в односвязной области полностью определяется скалярным потенциалом, удовлетворяющим уравнению Лапласа.

Функция U , непрерывная вместе с производными первого и второго порядка и удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической.

П р и м е р 78. Функция

является гармонической всюду, кроме начала координат. Эта функция фундаментальное решение уравнения Лапласа в тр¼хмерном пространстве.

Фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости называется функция

q

ln x2 + y2:

Она также является гармонической на плоскости всюду, кроме начала координат.

Задачи

Проекции этого вектора на оси Ox, Oy, Oz соответственно равны

@a@xx bx + @a@yx by + @a@zx bz ; @a@xy bx + @a@yy by + @a@zy bz ; @a@xz bx + @a@yz by + @a@zz bz :

Используя определение оператора Гамильтона, выражение (3.72) можно переписать в виде

П р и м е р 79. Вычислить производную радиус-вектора ~r по постоянному вектору ~c.

Очевидно,

5.4. Дифференциальные операции от произведений функций. Для получения правильных результатов при вычислении градиента, расходимости и вихря от произведений полей при использовании оператора r нужно придерживаться следующих правил.

1) Оператор Гамильтона кроме векторных обладает дифференциальными свойствами, поэтому при применении r к произведению двух функций оператор должен подействовать на каждый из сомножителей, то есть r от произведения двух функций, есть сумма двух произведений, в одном из которых r действует на первый множитель, а в другом на второй. Будем отмечать функцию (скалярную или векторную), на которую действует оператор r, вертикальной стрелкой сверху, например

2) Оперируя с r, как с вектором согласно алгебре векторов, нужно преобразовать полученные выражения таким образом, чтобы функция, отмеченная символом #, оказалась на последнем месте в произведении, а оператор r на предпоследнем.

Применим эти правила для вывода некоторых наиболее употребительных формул.

П р и м е р 80. В и х р ь в е к т о р н о г о п р о и з в е д е н и я. Продолжим преобразование выражения (3.74). Раскроем

двойные векторные произведения в правой части (3.74) по фор-

r(~a b ) + r(~a b ) =~a (rb ) b (r ~a ) +~a (r b ) b (r~a ):

В правой части последней формулы второе и третье слагаемые уже имеют необходимую последовательность множителей. Первое и четвертое слагаемые преобразуем, используя независимость произведения вектор-функции и скалярной функции и независимость скалярного произведения от порядка сомножителей. В результате имеем

rot (~a b ) = (b r) ~a b (r ~a ) + ~a (r b ) (~a r) b :

Используя соотношения (3.69) и (3.73), окончательно перепишем найденную формулу в виде