Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

~

3) Векторное поле P называется п о т е н ц и а л ь н ы м, если

~

P является градиентом некоторой скалярной функции ':

~

P = grad ':

~

Величина ' скалярный потенциал поля P .

~

Покажем, что интеграл от поля P = grad ' не зависит от кривой интегрирования. По определению градиента, под знаком интеграла будет полный дифференциал d' = grad ' d~r, и, следовательно, интегрирование по кривой L даст приращение функции ', обусловленное перемещением из начальной точки A кривой L в конечную точку B.

Z Z Z

~

P d~r = grad ' d~r = d' = '(B) '(A): (3.44)

L L L

П р и м е р 72. Покажем, что силы, которые в каждой точке пространства направлены по прямой, соединяющей м.т. с одним и тем же центром, а их величина зависит только от расстояния до этого центра, являются потенциальными.

Если центр выбрать за начало отсч¼та, то такую силу можно записать в виде

~

F = F (r)~r:

Частный случай такой силы был рассмотрен в примере 71. Воспользуемся условием потенциальности поля в форме

(3.43). В декартовой системе координат это условие примени-

~

тельно к полю F можно переписать в виде тр¼х равенств:

166 Глава 3. ФУНКЦИИ ТОЧКИ

неограниченно возрастает при уменьшении максимальной площадки до нуля:

max j j!0 i=1

Аналогично определяется

3.2.Поток векторного поля. Пусть в каждой точке

~

M поверхности определено векторное поле P (M ): Мысленно разобъем поверхность на частичные поверхности i; площади которых обозначим через i. Выберем на каждой из частич- ных поверхностей i по произвольной точке Mi и определим в ней единичный вектор положительной нормали ~en(Mi).

Образуем сумму

i

Если существует предел суммы (3.46) при стремлении к нулю максимальной площади участка разбиения поверхности , не зависящий ни от способа разбиения поверхности , ни от выбора точек Mi, то он называется потоком N векторного поля

~

P (M ) через поверхность :

Xk ~

N = lim P (Mi ) ~en(Mi ) i ; (3.47)

k!1

max j ij!0 i=1

и обозначается

ZZ ZZ

~ ~ ~

N = P ~end = P d ; (3.48)

~

ãäå d = ~end вектор, модуль которого равен величине площади элементарной площадки d , а направление совпадает с единичным вектором нормали к площадке ~en.

Отметим очевидное свойство потока векторного поля: поток суммы полей через некоторую поверхность равен сумме

потоков каждого из полей в отдельности через ту же поверхность.

Вычисление потока векторного поля сводится к вычислению поверхностного интеграла первого рода, который, в свою оче- редь, к вычислению двойного интеграла. Именно поэтому в обозначении (3.48) потока N используется двойной знак интеграла.

3.3. Нормаль к поверхности. Для вычисления потока вектора через поверхность необходимо определить нормаль к повехности. Напомним, как это делается.

Пусть дана поверхность , определяемая уравнением

Уравнение (3.49) это уравнение поверхности нулевого уровня функции F (x; y; z). Следовательно, нормалью к поверхности в точке M является градиент функции F (M )

Единичный вектор нормали к поверхности

Если уравнение поверхности разрешено относительно одной из координат, например

z = f (x; y); èëè z f (x; y) = 0;

и направляющие косинусы единичного вектора нормали по отношению к координатным осям x; y; z равны

3.4.Вычисление потока. Пусть поверхность задана

âдекартовой системе координат xyz однозначной функцией z =

f (x; y).

~

Представим векторное поле P и единичный вектор нормали ~en к поверхности через их проекции на оси декартовой системы координат:

d

где направляющие косинусы cos(~en; ~ei) (i = x; y; z; ) определяются формулами (3.52). Обозначим

Проекцией поверхности на плоскость xy (см. рис. 89) является плоская площадка D. Мысленно рассеч¼м поверхностьсистемами плоскостей, параллельных координатным плоскостям xz и yz на элементарные площадки d . На рис. 89 штрихованными линиями показаны следы четыр¼х рассекающих плоскостей, выделяющих одну из элементарных площадок d и е¼ проекцию dD на плоскость xy.

Координатные поверхности xy, yz, xz отсекают от плоскости x + 2y + 3z = 1 треугольник ABC (рис. 90), вершины которого имеют координаты A(1; 0; 0), B(0; 1=2; 0), C(0; 0; 1=3).

Вычисляем поток по формуле (3:540):

3.5.Поток через замкнутую поверхность. Ïðè ðàñ-

~

смотрении потока векторного поля P через замкнутую поверхность в обозначении (3.48) вместо символа

В качестве вектора ~en здесь подразумевается единичный вектор внешней нормали к объ¼му, ограниченному поверхностью .

Задачи

(y2 + z2)~ey + (z2 + x2)~ez : 1)через часть плоскости OXY , ограниченную окружностью x2 + y2 = 1, в направлении вектора ~ez