Беляев Ю.Н. Введение в векторный анализ

Формула (1.121) это уравнение искомой прямой в векторной форме. Используем ее для нахождения уравнения прямой линии в декартовой системе координат. Для этого раскроем векторное произведение (1.121) согласно правилу (1.120):

где (x; y; z) координаты вектора ~r, (x1; y1; z1) координаты вектора ~r1, (x2; y2; z2 ) координаты вектора ~r2.

Полученную систему уравнений можно переписать в эквивалентной форме

9.3.Выражение векторного произведения через

оределители второго и третьего порядков. Если число строк матрицы, определяемой формулой (1.37), совпадает с числом е¼ столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратной матрице M соответствует е¼ определитель, или детерминант det M , который записывается в виде той же таблицы, что и матрица M , но заключенной в прямые скобки. Так, для квадратной матрицы размерности n n имеем:

Рассмотрим квадратную матрицу M , состоящую из четыр¼х элементов mij (i; j = 1; 2). Определителем или детерминантом

второго порядка, соответствующим квадратной матрице 2 2, называется число m11m22 m12m21:

Используя определение (1.124), формулу (1.120) для векторного произведения в ортонормированном базисе можно переписать следующим образом:

Определитель или детерминант квадратной матрицы 3 3

åñòü

=m11m22m33 + m12m23m31 + m13m21m32

m13m22m31 m12m21m33 m11m23m32: (1.126)

Нетрудно заметить, что векторное произведение (1.120) формально можно представить как определитель матрицы 3 3, в первой строке которой стоят базисные векторы ~e1, ~e2, ~e3, во второй строке координаты вектора ~a и в третьей строке

~

координаты вектора b :

Задачи 60. Доказать сочетательное относительно числового множи-

ные векторы левого базиса?

63. ~

Ñèëà F = 30~ex + 40~ey (Н) приложена к точке ~r = 8~ex + 6~ey (м). Найдите: 1) момент силы относительно начала координат; 2) плечо силы; 3) составляющую силы, перпендикулярную к ~r.

64. Система N частиц с массами mi, положения которых определяются радиус-векторами ~ri, а скорости ~vi, обладает моментом количества движения, равным

~

XN

K = mi(~ri ~vi):

i=1

Если же рассматривать систему координат, жестко связанную с центром масс, то можно считать, что система имеет момент

=( 3 2 + 3 2 3 6 + 5 6 1 0 + 5 4 1 2 + 3 6) ~ez=

=48~ez (Íì):

Модуль суммарного момента равен 38 Нм, и вектор направлен вдоль оси z перпендикулярно плоскости рисунка 49 к читателю.

в справедливости которой нетрудно убедиться, если использовать определения и свойства векторного и скалярного произведения векторов.

Ï ð è ì å ð 35. Ó ð à â í å í è å ï ë î ñ ê î ñ ò è, ï ð î õ î ä ÿ ù å é ÷ å ð å ç ò ð è ò î ÷ ê è, í å ë å æ à ù è å í à î ä í î é ï ð ÿ ì î é.

Если даны три различные не лежащие на одной прямой точ- ки M1, M2, M3, положенния которых задаются соответственно радиус-векторами ~r1(x1; y1; z1), ~r2(x2; y2; z2), ~r3(x3; y3; z3 ), то че- рез них можно провести единственную плоскость. Любая другая точка M , определяемая радиус-вектором ~r(x; y; z), будет также принадлежать этой плоскости, если три вектора (~r ~r1), (~r2 ~r1) è (~r3 ~r1) компланарны, т.е.

(~r ~r1) ((~r2 ~r1) (~r3 ~r1)) = 0;

Это и есть уравнения искомой плоскости в векторной форме и декартовых координатах.

Глава 2

ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

Ÿ1. Производная вектор-функции по скалярному аргументу

1.1.Геометрический смысл производной. Пусть ко-

~

ординаты вектора f зависят от скалярного параметра . Тогда

~ ~

говорят, что задана вектор-функция f = f ( ) скалярного аргумента . Так, в декартовой системе координат XY Z

~

f ( ) = fx( )~ex + fy ( )~ey + fz ( )~ez :

~

Если начало вектора f ( ) для любого отнести к одной фиксированной точке O (началу координат), то при измене-

~

нии скалярного аргумента конец вектора f ( ) будет описывать некоторую пространственную кривую, называемую годо-

1Название происходит от греческого o o дорога è '! рисую. Таким образом, смысл слова - дорога, описываемая ÷åì-ëèáî. Понятие и тер-

мин введены Гамильтоном при изучении криволинейного движения частицы

79