4.4. Числовые характеристики дискретной случайной величины

1) Математическое ожидание

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величиныназывается число, равное сумме произведений всех её возможных значений на их вероятности

.

Вероятностный смысл :приблизительно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства

1. , где С = const;

2. ;

3. (правило сложения математических ожиданий);.

4. (правило умножения математических ожиданий независимых случайных величин);

5. ;

6. .

Пример 4.4. Случайная величина имеет закон распределения

	3	5	2
	0,1	0,6	0,3

Найти ее математическое ожидание.

Решение.

=.

2) Дисперсия

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно их математического ожидания.

Определение.Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата её отклонения от математического ожидания

.

Получим формулу для вычисления дисперсии:

Итак, .

В качестве показателя рассеивания используют также величину .

Определение.Средним квадратическим отклонениемслучайной величины называется.

Свойства

1. , где С = const;

2. ;

3. (правило сложения дисперсии независимых случайных величин);

4. .

Пример 4.5. Задана д.с.в.Х. Вычислить ее дисперсию.

	1	2	5
	0,3	0,5	0,2

Решение. Сначала найдем математическое ожидание этой с.в.

=.

Составим ряд распределения для с.в. и вычислим ее математическое ожидание:

	1	4	25
	0,3	0,5	0,2

.

Используя формулу для расчета дисперсии, получим

=.

4.5. Биноминальный закон распределения и закон Пуассона

Определение.Дискретная случайная величина имеетбиноминальный закон распределения, если она принимает значенияс вероятностями, то есть вероятности находятся по формуле Бернулли, гдеи- вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по биноминальному закону, то есть числа появлений событиявнезависимых испытаниях, равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

.

Дисперсия числа появлений события внезависимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в одном испытании:

.

Пример 4.6.Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия. Составить ряд распределения числа попаданий, если произведено 3 выстрела. Найтии.

Решение. Вероятность попадания в цель равна 0,6. Тогда вероятность промаха . Случайная величинаХ – число попаданий принимает четыре значения: 0,1,2,3.

Найдем вероятности этих значений.

;

;

;

	0	1	2	3
	0,064	0,288	0,432	0,216

.

Итак, ряд распределения имеет вид

Контроль: .

.

.

Определение.Дискретная случайная величинаимеет закон распределения Пуассона, если она принимает значенияс вероятностями, где.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого закона:

, .